4.Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.

События является исходами одного и того же испытания каждое из которых может наступить с одной и той же вероятностью и не является более объективным по отношению к другим наз-ся равно возможными.

Вероятность события- число, которое является исходом испытания с равно возможными исходами равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равно возможных исходов.

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно, P(A)=m/n=n/n=1

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

В этом случае m=0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит 0<m/n<1, следовательно,

0<P(A)<1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0P(A)1

Основные формулы комбинаторики

Сочетание (из n по m) называется соединение из n элементов и отличающим друг от друга составом элементов.

Числу сочетания равно числу способов выбора m элементов из n.

Если в сочетание элементы могут повторяться, то их называют сочетание с повторением

Размещение из называется соединение состоящих из m элементов и отличающихся друг от друга либо составом элементов либо порядком их следования.

Если в размещения элемента могут повторятся, то их называют размещением с повторением

Перестановка называется соединение состоящих из n элементов и отличающихся друг от друга порядком следования элементов.

5.Геометрическое определение вероятности. Достоинства и ограничения

Вероятность события, эксперимент по произведению которого можно разложить на бесконечное число равновозможных, равна отношению меры области благоприятствующей наступлению этого события мере всей области.

m(G)-благоприятствующая (благоприятная) область

m(S)-вся область

В качестве меры области может выступать длина отрезка, площадь плоской фигуры и объем тела.

Необходимые условия применения геометрического определения вероятности:

1.области S и G должны быть замкнутыми, д.б. измеримыми.

2.случайно выбранная точка в области S окажется в одной из заштрихованной подобласти S1 и S2

s1 и s2- часть множества S

Пример: задача о встрече (студенты условились встретиться в опр.месте....Какова вероятность того, что студенты встретятся)

Достоинство: может преодолеть недостаток классического определения вероятности в предположении конечного числа возможных исходов испытания.

6.Простые и сложные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей

Теория  сложных  событий  позволяет  по  вероятностям  простых  событий  определять вероятности сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вероятностей.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если A и B - совместные события, то суммой 2ух событий A и B называется событие С, состоящее в наступлении либо события A, либо события B, либо обоих событий вместе. Если A и B - несовместные события, то их сумма означает наступление или события A, или соб. B.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы 2х событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B+....+K)=P(A)+P(B)+....+P(K)

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице.

, где А1,А2..An-полная группа событий⇒

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.