26.Понятие многомерной непрерывной случайной величины. Плотность вероятности двумерной случайной величины.

Многомерной случайной величиной Х=(Х1,Х2,Х3,…Хn) называется совокупность случайных величин Х1,Х2,Х3,…Хn, описывающая некоторый процесс(объект).

Х1,Х2,Х3,…Хn – это координаты (составляющие) многомерной случайной величины.

СВ Х1,Х2,Х3,…Хn имеют определенный закон распределения.

Исчерпывающую характеристику многомерной СВ можно получить по ее закону распред.

Многомерные СВ бывают дискретными и непрерывными. Если оставляющие многомерной СВ являются дискретными, то многомерная СВ наз-ся дискретной. Если непрерывными – то непрерывной.

Плотностью вероятности распр. многомерной сл.в. (Х₁,Х₂,…,Х_n) наз.смешанная частная производная n-го порядка её ф-ии распределения.

Для двумерной сл.в. плотность распределения равна

График плотности распределения двумерной сл.в. – это поверхность в трёхмерном пространстве наз.плоскостью ХоУ.

Проекции сечений поверхности f(x,y) плоскостями, параллельным плоскости ХоУ, наз.кривыми равной плотности. Плоскость f(x,y) наз.поверхностью распределения.

Свойства плотности распределения.

f(x,y)≥0; х,у ϵ R
(объем тела, ограниченного плоскостью ХоУ и поверхностью распределения =1)

Функцию распр.двумерной сл.в. можно определить через плотность распр.по формуле

27. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной св.

Условные ЗР сл.в.,входящих в систему, можно определить по формулам

Графически условный ЗР сл.в. Х – это сечение поверхности распределения плоскостью, параллельной плоскости ХоZ и проходящей через точку У=у. Аналогично, условный ЗР сл.в.У – это сечение поверхности распределения плоскостью, параллельной плоскости УоZ, проходящей через точку Х=х.

Необходимым и достаточным условием Независимости сл.в., входящей в систему явл.

f(х,у)=f₁(x)*f₂(y), где f₁(x) и f₂(y)-безусловные ЗР сл.в.Х и У соответственно.

Зависимые и независимые случайные величины.

Определение. Случайные величины Х и У наз. независимыми, если их совместная функция распределения F(х,у) равно произведению функций распределения случайных величин Х и У

F(х,у)=F₁(x)·F₂(y)

Переходя к плотности распределения условия независимости случайных величин Х и У можно записать в виде:

F(х,у)=f₁(x)·F₂(y)

С другой стороны, условия независимости случайных величин , входящих в систему: условия ЗР случайных величин совпадают с соответствующими безусловными ЗР, в противоположном случае, случайные величины яв-ся зависимыми

Определение. Под вероятностной (стохастической, статистической) зависимостью СВ Х понимают ее условный ЗР при фиксированном значении СВ У (и наоборот).

Числовые характеристики определяются для каждой СВ, входящей в систему. При этом числовые характеристики, определенные по условным ЗР, наз. условными числовыми характеристиками. В силу того, что для одной и той же СВ можно составить несколько ее условных ЗР, следовательно, и число условных числовых характеристик для одной и той же СВ можно определить несколько.