48. Элементы общей теории проверки статистической гипотезы.

Статистическая гипотеза-это любое предположение, относительно ген. совокупности, полученное в результате анализа выборочных данных.

Различают параметрические и непараметрические статистические гипотезы.

Стат. гипотеза называется параметрической, если в ней сформулированы предположения относительно значений параметров распределения, при условии, что сам ЗР считается известным.

Стат. гипотеза называется непараметрической если в ней сформулированы предположения относительно соответствия ЗР генеральной совокупности предполагаемому теорет. ЗР.

Стат.гипотезы делятся на основную(нулевая) и конкурирующую(альтернативная) гипотезу.

Стат. Гипотеза называется основной Н₀ , если она утверждает, что различия между сравниваемыми величинами отстутствуют, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями выборки.

Стат.гипотеза называется конкурирующей(альт.) если по смыслу противоречит основной. Н₁

Н₀: М(х) = М(у), х,у-ген. совок-ть 1 и 2 соответственности.

Н₁: М(х) ≠ М(у)

М(х) > М(у)

М(х) < М(у)

Различают простые и сложные гипотезы.

Стат.гипотезу называют простой, если она содержит только 1 предположение, т.е. ей соответствует 1 распределение или 1 точка пространства параметров.

Стат.гипотезу называют сложной, если она состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Выбор конкурирующей гипотезы прежде всего зависит от результатов, полученных в результате анализа выборочных данных и влияет на вид критической области.

49.Статистическая проверка гипотез: Проблема выбора критической области. Ошибки 1 и 2 рода.

При проверке стат.гипотез на начальном этапе формулируются основная и конкурирующая гипотезы.

На след.этапе определяется статистика критерия. Это спец. функция выборки ЗР которой хотя бы ассимптотически сходятся к 1 из точных ЗР.

Для проверки различных стат.гипотез используется соотв. ей статистика критерия.

Исходя из вида конкурирующей гипотезы ЗР статистики критерия и заданной надежности определяется так называемая критическая область.

Критической называется область, при попадании в которую в статистике критерия основная гипотеза(Н₀) отвергается.

Допустимой называется область, при попадании в которую в статистике критерия основная гипотеза не отвергается.

В зависимости от вида конкурирующей гипотезы, крит. область бывает односторонней соотв.Н_i и двусторонней соотв. конкур.гипотезы Н_i вида.

t_α- граница крит. области

α₁ – левосторонняя крит.область

t_α =H₁*M(x)> M(y)

H₁ *M(x)<M(y)

α₂ – правосторонняя крит.область

Границы крит.области соответствую квантилю(крит.значению ЗР статистики критерия)

α\2 и α\2 – двусторонние крит.области

H₁ *M(x) ≠ M(y)

Если значение статистики критерия, рассчит.по имеющейся выборке, оказывается в крит.области, то основная гипотеза отвергается на уровне значимости α; Если в допустимой области то основная гипотеза не отвергается на уровне значимости α.

Общая схема проверки стат.гипотез имеет вид:

1. Определяется основная и конкурир.гипотезы

2. Выбирается статистика критерия

3. Вычисляется значение статистики критерия по выб.данным

4. Определяется критическая область

5. Принимается статист.решение( отвечает или нет)

В результате проверки стат.гипотез возможны след.исходы:

1. Основная гипотеза верна и по выбранному числовому критерию не отвергается

2. Основная гипотеза верна, но она по выбранному числовому критерию отвергается

3. Основная гипотеза ошибочна, но она не отвергается по выбранному числовому критерию.

4. Основная гипотеза ошибочна и она не отвергается по выбранному числовому критерию.

Ошибка соответствующая 2 исходу, называется ошибкой 1 рода-это ошибки,связанные с отвержением верных гипотез.

Ошибка соответствующая 3 исходу называется ошибкой 2 рода- это ошибки,когда принимаются неверные гипотезы.

При уменьшении ошибки 1 рода, увеличивается ошибка 2 рода, и наоборот, при уменьшении ошибки 2 рода, увеличивается ошибка 1 рода.

Суммарное сокращение ошибок 1 и 2 рода возможно при:

1. Увеличении объема выборки

2. При оптимальном выборе границы крит. области

С_α = плата за единицу 1 рода

С_В = плата за единицы ошибки 2 рода

Оптимальные границы крит.области соотв-т оптимальным решениям след.задачи С_α*α +С_В *β→min