§5. Закон электромагнитной индукции.

I. Краткие теоретические сведения

Закон электромагнитной индукции Фарадея: ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, численно равна изменению магнитного потока в единицу времени. Направление ЭДС индукции таково, что индукционный ток создает магнитный поток, препятствующий изменению магнитного потока, вызывающего ЭДС индукции.

.

Поток вектора магнитной индукции:

,

где - угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости контура.

Индуктивность соленоида:

,

где - магнитная проницаемость материала сердечника,n– число витков на единицу длины,V– объем соленоида.

II. Примеры решения задач

Пример 5.1.Короткозамкнутый виток провода сопротивлением R, имеющий форму квадрата со стороной а, поместили в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости витка. Затем витку придали форму половины окружности (не растягивая провод, а только деформируя его). Какой заряд протечет через поперечное сечение провода в результате такой деформации.

Решение.

Из закона электромагнитной индукции:

,

где магнитный поток , т.к. магнитное поле перпендикулярно плоскости витка, т.е. угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости витка равен нулю.

Из закона Ома,

где R – сопротивление контура. Тогда:

Начальная площадь контура: , конечная площадь контура – площадь половины окружности:, где r – радиус окружности. Радиус окружности найдем из условия, что длина провода остается неизменной:. Тогда конечная площадь контура:.

Таким образом, заряд который пройдет через поперечное сечение провода:

.

Пример 5.2.Кольцо радиуса r вращается вокруг оси лежащей в его плоскости, так что угловая скорость зависит от времени по закону(где а > 0). Кольцо помещено в однородное магнитное поле с индукцией В, направленной перпендикулярно к оси вращения. Найти индукционный ток в кольце, если его сопротивление R.

Решение.

Индукционный ток :

.

Из закона электромагнитной индукции:

,

где магнитный поток ,- угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости контура. Тогда:

.

В начальный момент времени нормаль к контуру совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля:

.

В момент времени , (гдеТ– период вращения, т.е. время одного полного оборота) кольцо повернется на угол 90вокруг своей оси, т.е.= 90и магнитный поток равен нулю.

В момент времени , кольцо повернется на угол 180вокруг своей оси, т.е.= 180и магнитный поток равен:

.

В момент времени , кольцо повернется на угол 270вокруг своей оси и= 270, т.е. магнитный поток равен нулю.

Таким образом, зависимость магнитного потока от времени имеет вид:, где.

Магнитный поток: и. Тогда индукционный ток равен:

.

Пример 5.3.В очень длинном соленоиде, радиус которого равенR, а число витков на единицу длины равноn, ток изменяется со временем по закону:(гдеI₀и- положительные постоянные). Определит напряженность электрического вихревого поляЕ(r)(внутри и снаружи соленоида) в любой момент времени.

Решение.

Закон электромагнитной индукции:

,

где - поток вектора магнитной индукции. Индукция магнитного поля внутри соленоида:, индукция магнитного поля вне бесконечного соленоида равна нулю. Силовые линии магнитного поля параллельны оси соленоида, силовые линии электрического поля – окружности, плоскости которых перпендикулярны оси соленоида. Выбираем замкнутый контур вдоль силовой линии электрического поля внутри соленоида, тогда поток вектора магнитной индукции через поверхность ограниченную данным контуром равен:

,

где r– радиус замкнутого контура.

.

Если замкнутый контур выбираем вне соленоида, то .

Пример 5.4.Провод, имеющий форму параболы, находится в однородном магнитном поле с индукциейВ. Из вершины параболы в момент времениt= 0 начали перемещать перемычку 12 (рис. 5.1 а). Найти э.д.с. в образовавшемся контуре как функциюу, если перемычку перемещают с постоянным ускорениема, причем в моментt= 0 скорость перемычки была равна нулю.

Решение.

Из закона электромагнитной индукции:

,

где магнитный поток ,= 0 - угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости контура.

Чтобы найти площадь S, вычислим площадь заштрихованной фигурыS^/на рис. 5.1 б, учитывая, чтои.

.

.

.

.

Пример 5.5.По П-образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемычка 12 (рис. 5.2). Перемычка имеет длинуl, массуmи сопротивлениеR. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукциейВ. В момент времениt= 0 на перемычку стали действовать постоянной горизонтальной силойF, и перемычка начала перемещаться вправо. Найти зависимость от времени скорости перемычки. Самоиндукция и сопротивление П-образного проводника малы.

Решение.

При перемещении перемычки под действием силы Fв контуре возникает ЭДС индукции и индукционный ток (направление тока указано на рис. 5.2):

,

где магнитный поток ,= 180 - угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости контура. Величина индукционного тока определяется выражением:

,

где v– скорость движения перемычки.

На проводник, по которому течет ток, в магнитном поле действует сила Ампера:

.

Уравнение движения перемычки имеет вид:

Решаем дифференциальное уравнение:

.