§3. Поле в диэлектрике

I. Краткие теоретические сведения

В диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.

Вектор диэлектрического смещения (электрическая индукция)

.

где- вектор напряженности электрического поля,- вектор поляризации,Ф/м.

При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле в нем возникает некоторое перераспределение зарядов, входящих в состав атомов или молекул. В результате такого перераспределения на поверхности диэлектрического образца появляются избыточные нескомпенсированныесвязанные заряды. Все заряженные частицы, образующие макроскопические связанные заряды, по-прежнему входят в состав своих атомов. Связанные заряды создают электрическое поле которое внутри диэлектрика направлено противоположно вектору напряженностивнешнего поля. Этот процесс называетсяполяризацией диэлектрика. В результате полное электрическое поле внутри диэлектрика оказывается по модулю меньше внешнего поля.

Теорема Гаусса для в интегральной форме: поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхностьравен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью.

.

Теорема Гаусса для в интегральной форме:

.

Теорема Гаусса означает, что поток вектора через любую замкнутую поверхность равен полному свободному заряду внутри поверхности. Эта теорема оказывается справедливой для любой замкнутой поверхности, в том числе и такой, которая пересекает границу разных диэлектриков или границу диэлектрика с проводником. Заметим, что поток вектора равен нулю в отсутствие свободных зарядов внутри поверхности.

Теорема Гаусса для электрической индукции в дифференциальной форме:

т.е. дивергенция электрической индукции определяется только плотностью свободного заряда.

Граничные условия общего вида для электрического поля:

Для изотропных диэлектриков

.

 - диэлектрическая восприимчивость, - диэлектрическая проницаемость.

II. Примеры решения задач

Пример 3.1.Точечный сторонний зарядqнаходится в центре шара из однородного диэлектрика с проницаемостью. Найти поляризованностькак функцию радиус-вектораотносительно центра шара, а также связанный зарядвнутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.

Решение.

Для изотропных диэлектриков связь вектора поляризованности с вектором напряженностиимеет вид

.

Так как в условии задачи дан сторонний заряд, то следует использовать теорему Гаусса для вектора . По теореме при

.

Напряженности найдем как

.

Подставляя последнее выражение, получим искомую зависимость вектора поляризованности от радиус-векторапри

.

Для нахождения заряда внутри сферы радиуса воспользуемся теоремой Гаусса для вектора. Получим

.

Пример 3.2.Показать, что на границе однородного диэлектрика с проводником поверхностная плотность связанных зарядов, где- диэлектрическая проницаемость,- поверхностная плотность зарядов на проводнике.

Решение.

Применим теорему Гаусса для напряженности электрического поля в веществе

.

На границе раздела в качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, ось которого перпендикулярна границе. Так как внутри проводника электрическое поле отсутствует , то через боковую поверхность цилиндра поток также будет равен нулю. Тогда

.

Применим теорему Гаусса для для той же поверхности, учитывая что в проводнике. Получим

.

Отсюда имеем .

Пример 3.3.Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя с радиусамиaиb, причем. Изобразить примерные графики модуля напряженности электрического поляEи потенциалакак функции расстоянияrот центра системы, если диэлектрик имеет положительный сторонний заряд, распределенный равномерно по внутренней поверхности слоя.

Решение.

Применим теорему Гаусса для электрической индукции , выбрав в качестве поверхности сферу радиусаr. Тогда при

Связь между потенциалом и напряженностью электрического поляEимеет вид

Таким образом, получаем

Постоянные интегрирования C₁иC₂найдем из условия непрерывности потенциалана границахи. Принайдем. Соответственно, приполучаем. Из условияпринайдем.

С учетом полученных значений C₁иC₂запишем

Видно, что при и уменьшается с ростом расстоянияr,.Схематические графики зависимостииприведены на рис. 3.1. Из графиков следует, что потенциализменяется непрерывно, а зависимость напряженностиимеет скачки, что связано с изменением диэлектрической проницаемостипри переходе из одной среды в другую.

Пример 3.4.У плоской поверхности однородного диэлектрика с проницаемостьюнапряженность электрического поля в вакууме равнаE₀, причем векторсоставляет уголс нормалью к поверхности диэлектрика (рис. 3.2). Считая поле внутри и вне диэлектрика однородным, найти:

а) поток вектора через сферу радиусаRс центром на поверхности диэлектрика;

б) циркуляцию вектора по контурудлиныl(см. рис. 3.3), плоскость которого перпендикулярна к поверхности диэлектрика и параллельна вектору.

Решение.

а). Применим теорему Гаусса для вектора :

.

На границе раздела в качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, ось которого перпендикулярна границе, тогда

.

Для нахождения поверхностной плотности связанных зарядов , воспользуемся теоремой Гаусса для векторадля той же поверхности

.

Разложим вектор ина нормальные и тангенциальные составляющие как показано на рис. 3.3. Применяя граничные условия, имеем

.

Тогда

.

Учитывая, что окончательно получим

.

б). Найдем циркуляцию вектора по контурудлиныl(см. рис. 3.4)

Применяя граничные условия, имеем

получим

.

Пример 3.5.Круглый диэлектрический диск радиусаRи толщиныdполяризованстатическитак, что поляризованность, равная, всюду одинакова и векторлежит в плоскости диска. Найти напряженность электрического поля в центре диска, если.

Решение.

Из рис. 3.5 следует, что

Выделим элемент dl, заряд которого будет равен. Тогда напряженность поля элементарного заряда можно найти как

,

тогда

.

Отсюда

.

Из рис. 3.6 следует, что векторы ипараллельны, но направлены в противоположные стороны, тогда

.

Пример 3.6.Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом и напряженность поля в зазоре равна. Затем половину зазора, как показано на рис. 3.6, заполнили однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью. Найти модули векторови в обеих частях зазора (1 и 2), если при введении диэлектрика:

а) напряжение между обкладками не менялось;

б) заряды на обкладках оставались неизменными.

Решение.

а). В начальный момент емкость конденсатора

.

При заполнении диэлектриком, получаем два конденсатора, включенных последовательно. Их емкости соответственно равны

Суммарная емкость

.

В начальный момент напряжение между обкладками . При введении диэлектрика напряжение не изменилось (согласно условию задачи), но теперь оно приложено к двум последовательно соединенным конденсаторам. При этом заряд на обкладках. Тогда напряжение на конденсатореC₁равно

.

Следовательно, напряженность электрического поля на конденсаторе C₁

.

Аналогично, легко получить

.

Применяя граничные условия для границы раздела диэлектрик-вакуум с учетом , найдем

.

б). В начальный момент заряд

.

При введении диэлектрика заряд остается неизменным (по условию задачи), т.е. . Напряжение на конденсатореC₁равно

.

Тогда, напряженность электрического поля на конденсаторе C₁

.

Аналогично рассуждая, получим .

Из граничных условий найдем .