§9. Вектор Умова Пойтинга. Ток смещения

I. Краткие теоретические сведения

Максвелл обобщил закон полного тока, предположив, что переменное электрическое поле, так же как и электрический ток, является источником магнитного поля. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля служит ток смещения. Током смещения сквозь замкнутую поверхность называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность

где .Учет токов смещения приводит к тому, что токовые силовые линии становятся замкнутыми. Токи смещения "проходят" в тех участках, где нет проводников, например между обкладками заряжающегося или разряжающегося конденсатора.

Вектор Умова-Пойнтинга – вектор потока энергии:

.

Теорема Пойнтинга: убыль энергии за единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограничивающую этот объем, плюс работа в единицу времени (т.е. мощностьР), которую поле производит над зарядами вещества внутри данного объема.

,

где - элемент поверхности.

Объемная плотность энергии электромагнитного поля:

.

Соотношения, связывающие составляющие электромагнитной волны:

.

Фазовая скорость распространения электромагнитной волны в среде:

.

II. Примеры решения задач

Пример 9.1. Плоский конденсатор с круглыми обкладками радиуса медленно заряжают. Пренебрегая краевыми эффектами (рассеянием поля), показать, что скорость возрастания энергии электрического поля конденсатора равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.

Решение.

По определению (13.2) вектор Пойнтинга равен

.

Поэтому сначала необходимо определить взаимное расположение векторов и.

Пусть для определенности верхняя пластина конденсатора имеет положительный заряд. Следовательно, вектор направлен вниз. Поскольку конденсатор медленно заряжают, то напряженность электрического поля возрастает, т.е. вектортакже направлен вниз. Далее, используя уравнение Максвелла, определим, что векторсонаправлен с. Поэтому линии напряженности магнитного поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны силовым линиям электрического поля, а направление определяется по правилу правого винта (см. рис. 10.1). Таким образом, на боковой поверхности векторнаправлен внутрь конденсатора. Найдем его потоксквозь эту поверхность:

,

где - площадь боковой поверхности конденсатора.

Из теоремы о циркуляции вектора следует:

,

где - площадь поверхности, натянутой на контур. Тогда

Подстановкой получим

,

где - объем конденсатора.

С другой стороны, , т.е потокравен изменению энергии электромагнитного поля внутри конденсатора. Тогда

,

и есть изменение энергии электрического поля конденсатора. Таким образом, мы видим, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен скорости изменения электрической энергии внутри конденсатора.

Пример 9.2.Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида (-радиус соленоида,- длина соленоида,- число витков на единицу длины) меняется по закону. Определить скорость возрастания энергии в соленоиде.

Решение.

При возрастании тока увеличивается магнитное поле, а значит, согласно закону электромагнитной индукции, появляется вихревое электрическое поле.

На рис. 9.2 изображено взаимное расположение векторов и. Вектор Пойнтинганаправлен внутрь соленоида. Согласно теореме Пойнтинга :

.

Определим поток векторасквозь боковую поверхность соленоида длиной, пренебрегая краевыми эффектами:

.

Из закона электромагнитной энергии следует:

.

С одной стороны, . Учитывая, что, получим.

Таким образом, поток равен:

.

Заметим, что формулу для потока вектора Умова-Пойнтинга можно записать другим способом:

.

Т.е. скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.

Пример 9.3.По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток. Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление.

Решение.

Пусть по прямому проводу круглого сечения радиусомтечет ток. Если проводник идеальный, то электрическое поле внутри проводника отсутствует. При учете сопротивления проводника вдоль него будет действовать некоторое электрическое поле. В силу непрерывности тангенциальной компоненты векторатакое же поле будет и у поверхности проводника (рис. 9.3). Кроме того, ток проводимостисоздает магнитное поле, напряженность которого у поверхности проводника можно определить из теоремы о циркуляции:

Векторы инаправлены так, что вектор Пойнтинганаправлен внутрь проводника перпендикулярно его поверхности.

Определим поток электромагнитной энергии сквозь боковую поверхность участка провода длины :

(здесь использована формула ,- разность потенциалов на концах данного участка).

Таким образом, мы приходим к выводу, что при прохождении постоянного тока через проводник с сопротивлением выделяемая в виде теплоты энергия поступает через боковую поверхность из окружающего пространства, где движется энергия электрического и магнитного поля.

Пример 9.4.Нерелятивистские протоны, ускоренные разностью потенциалов, образуют пучок круглого сечения с током. Найти модуль и направление вектора Пойнтинга вне пучка на расстоянииот его оси.

Решение.

На рис. 9.4 показано взаимное расположение векторов и. Видно, что вектор Пойнтинга направлен параллельно скорости движения протонов.

Определим модуль вектора Пойнтинга

Неизвестное значение напряженности электрического поля найдем из теоремы Гаусса. Электрическое поле, создаваемое протонами, обладает цилиндрической симметрией, поэтому для цилиндрической гауссовой поверхности радиуса и длиныможно записать

,

где - заряд внутри этой поверхности, который в силу равномерного распределения протонов внутри пучка можно представить в виде(- линейная плотность заряда). Тогда

.

Учитывая, что (- скорость движения протонов), найдем

.

Неизвестную напряженность магнитного поля определим по теореме о циркуляции для вектора :

Таким образом, модуль вектора Пойнтинга равен:

.

Скорость протонов легко определить из известного ускоряющегося потенциала:

Окончательно имеем:

.

Пример 9.5. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму дисков радиуса, подключен к переменному синусоидальному напряжению частоты(рис. 10.5). Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри конденсатора.

Решение.

Электрическая энергия конденсатора, напряжение на обкладках которого меняется по закону , может быть найдена следующим образом:

,

где использована формула ,- расстояние между пластинами конденсатора.

Магнитную энергию в силу зависимости напряженности магнитного поля от расстояния до оси конденсатора найдем путем интегрирования:

.

Неизвестное значение напряженности магнитного поля найдем из теоремы о циркуляции:

.

Используя в качествеэлементарный объем в виде кольца радиуса, толщиныи высоты, для которого(рис. 10.5), найдем магнитную энергию конденсатора:

Таким образом, отношение амплитудных значений магнитной и электрической энергии конденсатора равно:

.

Так как , то.

Пример 9.6. На двухпроводной линии (рис. 10.6) ток отстает по фазе от напряжения на. Показать, что вектор Пойнтинга каждую четверть периода изменяет направление на обратное, и полный поток энергии равен нулю.

Решение.

Пусть напряжение изменяется по закону , тогда

.

Напряженность электрического поля находим из соотношения:

где - расстояние между проводниками.

По теореме о циркуляции для напряженности магнитного поля имеем:

.

Тогда вектор Пойнтинга равен:

.

Таким образом, период изменения векторав два раза больше периода изменения тока и напряжения. В первую четверть периодапоток положителен, а во вторую- отрицателен, и полный поток энергии за период равен нулю:.

Мгновенная мощность, выделяемая в цепь,

.

Средняя мощность

.

Если между током и напряжением разность фаз , то поток энергии будет направлен обратно к генератору в течение некоторой части периода. Чем меньше, тем большая энергия поступает к потребителю и тем меньше потери на линии.

Пример 9.7.Для передачи энергии используется коаксиальный кабель. Показать, что электромагнитная энергия волны, проходящей через поперечное сечение кабеля за единицу времени, равна энергии, которую за это же время отдает источник, питающий кабель.

Решение.

Коаксиальный кабель представляет собой систему, состоящую из сплошного проводника радиусом и концентрично расположенного с ним трубчатого проводника радиусом. Пространство между ними заполнено диэлектриком. Распределение линий напряженности электрическойи магнитнойсоставляющих электромагнитного поля показано на рис. 9.7. Вне кабеля, как следует из теоремы Гаусса и закона полного тока, ни электрического, ни магнитного поля нет.

Определим напряженности электрического и магнитного поля в точках, расположенных на расстоянии от оси кабеля (). Из теоремы Гаусса:

,

- линейная плотность заряда на внутреннем сплошном проводнике.

Из закона полного тока определим: .

Поток электромагнитной энергии через поперечное сечение коаксиального кабеля равен:

.

Неизвестные величины иопределим из соотношения:

.

Следовательно, . Этой же величине равна мощность источника, питающего кабель, и такая же мощность выделяется на нагрузке.

Пример 9.8.Вычислить энергию, проходящую за времячерез единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Решение.

Определим энергию с помощью вектора Пойнтинга:

Так как в волне выполняется соотношение , означающее, что в электромагнитной волне плотность электрической энергии в любой момент времени равна плотности магнитной энергии в той же точке, то

при условии .

Заметим, что такой же ответ можно получить, воспользовавшись формулой для плотности энергии электромагнитного поля :

.

Тогда . Таким образом, оба выражения – дляи для- приводят к одинаковому результату.

Пример 9.9.Между двумя концентрическими металлическими сферами находится слабо проводящий диэлектрик. Внутренняя сфера заряжена. Найти ток смещения через (произвольную) замкнутую поверхность, охватывающую внутреннюю сферу.

Решение.

По определение ток смещения . Полный ток смещения

.

По теореме Гаусса, тогда

.

С другой стороны, по закону сохранения заряда

По закону Ома

,

где - проводимость, тогда

.

Таким образом,

.

Вектор уменьшается, так как число положительных зарядов уменьшается.

Пример 9.10. Длинный прямой соленоид радиуса имеетвитков на единицу длины. По нему течет ток. Найти плотность тока смещения в зависимости от расстояния до оси соленоида.

Решение.

Из определения следует, что . Электрическое поле возникает в результате электромагнитной индукцииE, где - магнитный поток через окружность радиуса. Примагнитный поток. Поле внутри соленоида равно. Таким образом, при

, .

Тогда плотность тока смещения

.

При магнитный поток, так как снаружи соленоида. Таким образом, при

,

.

Т.е. тока смещения

.