§4. Закон Био-Савара-Лапласа. Теорема о циркуляции.

I. Краткие теоретические сведения

Магнитное поле В, создаваемое точечным зарядомq, движущимся со скоростьюv, в некоторой точке:

,

где r– радиус – вектор, проведенный от заряда к точке, в которой определяется поле. Результат векторного произведения – векторВнаправлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектор скорости и радиус - вектор, причем вектораr, v и B должны образовывать правую тройку.

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент которогоdlсоздает в некоторой точке поле, индукция которогоdB, записывается в виде:

,

где dl– вектор по модулю равный длине элементаdlи совпадающий по направлению с током,r– радиус – вектор, проведенный из элементаdlв точку, в которой определяется поле. Направление вектораdBперпендикулярноdlиr, т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции.

₀= 410^-7= 1.257 10^-6Гн/м – магнитная постоянная.

Теорема о циркуляции вектора В: циркуляция вектора Впо замкнутому произвольному контуру равна произведению магнитной постоянной₀на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

,

где N– число проводников с токами, охватываемых контуромLпроизвольной формы.

Магнитное поле в центре кругового витка с током I:

,

где R– радиус витка.

Поле на оси кругового витка с током I:

,

где R– радиус витка,z– расстояние от центра витка то дочки, в которой определяется поле.

Поле бесконечно длинного проводника с током I:

,

где x– расстояние от оси проводника то дочки, в которой определяется поле.

Поле отрезка проводника с током I:

,

где x– расстояние от оси проводника то дочки, в которой определяется поле, углы₁ и ₂– указаны на рисунке.

Если проводник расположен симметрично относительно точки наблюдения, то:

,

где угол указан на рис. 4.1.

II. Примеры решения задач

Пример 4.1. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком проводника длинойlв точке, отстоящей на расстояниихот центра проводника.

Решение.

На проводнике выбираем элемент тока длиной dl. По закону Био-Савара магнитное поле создаваемое этим элементом с током равно:

,

где - угол между векторамиdlиr.

Из рис. 4.2 видно, что .

С другой стороны .

Тогда .

Можно записать, что.

Тогда .

Закон Био-Савара можно записать как:

.

Магнитное поле всего проводника:

.

.

Пример 4.2.Определить индукцию магнитного поля проводника с током, имеющего форму дуги окружности радиуса R.

Решение.

Выбираем на окружности элемент длиной dl, проводим радиус-векторr, соединяющий данный элемент с точкой, в которой необходимо определить поле (рис.4.3). Угол между векторами равен 90. Тогда закон Био-Савара можно записать в виде:

,

d- угол, под которым из точки наблюдения виден элементdl. По принципу суперпозиции просуммируем все поля создаваемые такими элементами:

.

Пример 4.3. Определить индукцию магнитного поля в точке О для проводника, показанного на рисунке, если по проводнику течет токI.

Решение.

Разобьем проводник на два участка 1и2(рис.4.4) и воспользуемся принципом суперпозиции:. Магнитное поле, создаваемое первым проводником равно нулю т.к. угол между векторамиdlиrравен нулю и, магнитное поле второго проводника:

.