Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
38
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
5.07 Mб
Скачать

Решение типовых примеров

Задача.Найти форму зеркала, собирающего параллельные лучи в одну точку, обладающую указанным свойством.

За ось ОХвыберем прямую, параллельную лучам, а за начало координат ‑ точку, в которой пересекаются все лучи после отражения. Если LM (рис. 1) ‑ луч, падающий на кривую и попадающий после отражения в точкуО, то (по закону оптики угол падения равен углу отражения) углыи, которые образуют лучиLMиМОс касательнойТМ к кривой в точкеМ,должны быть равны. Вследствие этого треугольникОТМравнобедренный, а потому ТО=ОМ.

Если координаты точкиМ,то. ОтрезокОТ,представляющий абсциссу точкиТ, в которой касательная пересекает осьОx, находим из уравнения касательной: .Возьмем .

Рис.1

. Следовательно,

Подставляя в (*), получаем дифференциальное уравнение задачи:

.

Написав его в симметрической форме:

•(а)

видим, что оно является однородным. Применяем подстановку . Тогда .Подставляя в (а), получаем:

Разделяем переменные и интегрируем:

; ;

(б)

Далее разрешаем (б) относительно иследующим приемом:; умножая числитель и знаменатель дробина сопряженное со знаменателем выражение, получаем:

. (в)

Складывая (б) и (в), находим;

.

Обозначая ,получаем окончательно:

.

Решением служит парабола, ось симметрии которой ‑ ось Ox, a фокус лежит в начале координат. Таким образом, ось искомой параболы параллельна пучку лучей, а фокус параболы лежит в оптическом фокусе.

Вращая такую параболу вокруг оси ОХ,находим искомую зеркальную поверхность ‑ параболоид вращения.

Очевидно, что если источник света поместить в начале координат (фокусе), то лучи после отражения пойдут параллельным пучком. В силу этого зеркалу прожектора придается форма параболоида вращения.

Пример 1. Решить уравнение.

Решение: Проверим однородность уравнения:Сделаем замену: .

Подставим в исходное уравнение: (получим уравнение с разделяющимися переменными).

Ответ:

Пример 2..

Решение:

.

Ответ:.

Пример 3..

Решение:

, ,

Ответ:.

Пример 4.Решить уравнение

Решение:

Ответ:.

Пример 5.Решить уравнение.

Решение: C R\{0}, 1+2u-u2=0 x2(1+2u-u2)=C, CR .

Ответ:.

246.

Решение:x=0, (C R\{0}), С R\{0}.

Ответ: С R\0, x=0.

247.

Решение:х=0, у=их, СR\{0}, CR\{0} , CR\{0}, x=0 C= 0 C R.

Ответ: ,С R.

248.

Решение:

(x=0).

Ответ:.

Пример 9. Решить уравнение

Решение:, ,

Ответ:.

Пример 10. Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

Пример 11.

Решение:

Ответ:

Пример 12.Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 13.Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 14.

Решение:

Ответ:

Пример 15.

Решение:

Ответ.

Задачи для самостоятельного решения

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

9. Ответ:

10. Ответ:

11. Ответ:

12. Ответ:

13. Ответ:.

14. Ответ:

15. Ответ:

16. Ответ:

17. Ответ:

18. Ответ:

19.

Ответ:

20. Ответ:

21. Ответ:

22. Ответ:

23. Ответ:

24. Ответ:

25. Ответ:

Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным задачи с решениями

1. (х+у +2)dx+(2x+2y-1)dy=0 Ответ:СR, x+y+1=0.

Решение:a1=1, b1=1, a2=2, b2=2; = a1b2 - a2b1= 0.

Так как определитель =0, то делаем заменуz=x+y, - (уравнения с разделяющимися переменными)Возвратимся к исходным переменным:

2.

Решение:

Ответ:

3.

Решение:

Следовательно, делаем замену x=u+x0 , y=V+y0 , гдеопределяются из системы .

(однородное уравнение).

, C, t2-1 = 0 , C,,

Ответ:

4..

Решение:,a1 = 1 , b1 = 2 ,

Замена:

.

Проверка: ,,

; .

Ответ:

5..

Решение:,

Замена: ,,

, ,,, , ,,

Проверка: , ,

Ответ:

6...

Решение:,

Замена: ;,

, ,,

Ответ:

7..

Решение:

Замена: x + y = z , ,,

Ответ:

8..

Решение:

Замена: ,

, ,

Ответ:

Проверка:,

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Диф.уры Прокофьев