Решение типовых примеров

Задача. Найти форму зеркала, собирающего параллельные лучи в одну точку, обладающую указанным свойством.

За ось ОХ выберем прямую, параллельную лучам, а за начало координат ‑ точку, в которой пересекаются все лучи после отражения. Если LM (рис. 1) ‑ луч, падающий на кривую и попадающий после отражения в точку О, то (по закону оптики угол падения равен углу отражения) углы и , которые образуют лучи LM и МО с касательной ТМ к кривой в точке М, должны быть равны. Вследствие этого треугольник ОТМ равнобедренный, а потому ТО=ОМ.

Е сли ‑ координаты точки М, то . Отрезок ОТ, представляющий абсциссу точки Т, в которой касательная пересекает ось Оx, находим из уравнения касательной: . Возьмем .

Рис.1

. Следовательно,

Подставляя в (*), получаем дифференциальное уравнение задачи:

.

Написав его в симметрической форме:

•(а)

видим, что оно является однородным. Применяем подстановку . Тогда . Подставляя в (а), получаем:

Разделяем переменные и интегрируем:

; ;

(б)

Далее разрешаем (б) относительно и следующим приемом: ; умножая числитель и знаменатель дроби на сопряженное со знаменателем выражение, получаем:

. (в)

Складывая (б) и (в) , находим;

.

Обозначая , получаем окончательно:

.

Решением служит парабола, ось симметрии которой ‑ ось Ox, a фокус лежит в начале координат. Таким образом, ось искомой параболы параллельна пучку лучей, а фокус параболы лежит в оптическом фокусе.

Вращая такую параболу вокруг оси ОХ, находим искомую зеркальную поверхность ‑ параболоид вращения.

Очевидно, что если источник света поместить в начале координат (фокусе), то лучи после отражения пойдут параллельным пучком. В силу этого зеркалу прожектора придается форма параболоида вращения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение: Проверим однородность уравнения: Сделаем замену: .

Подставим в исходное уравнение: (получим уравнение с разделяющимися переменными)  .

Ответ:

Пример 2. .

Решение:

.

Ответ: .

Пример 3. .

Решение:

, ,

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение

Решение:

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение:  C R\{0}, 1+2u-u²=0  x²(1+2u-u²)=C, CR  .

Ответ: .

246.

Решение: x=0, (C R\{0}), С R\{0}.

Ответ: С  R\0, x=0.

247.

Решение: х=0, у=их,  СR\{0},  CR\{0}  , CR\{0}, x=0 C= 0 C R.

Ответ: , С  R.

248.

Решение:

( x=0) .

Ответ: .

Пример 9. Решить уравнение

Решение: , ,

Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

Пример 11.

Решение:

Ответ:

Пример 12. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 13. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 14.

Решение:

Ответ:

Пример 15.

Решение:

Ответ.