Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Диф.уры Прокофьев / DIFFER5

.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2013

Размер:

458.75 Кб

Скачать

☆

Глава 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

Дифференциальное уравнение или система, описывающие какой-либо физический процесс, обычно таковы, что участвующие в них функции, а также числовые коэффициенты и начальные условия задаются приближённо, с какой-либо степенью точности. Если решение уравнения меняется сильно при незначительном изменении этих данных, то такое решение неустойчиво, и появляются серьёзные сомнения в том, что эти функции действительно описывают данный процесс. Естественным требованием поэтому является устойчивость решений. Из различных понятий устойчивости мы выберем наиболее употребительное – устойчивость по Ляпунову.

Пусть

(1) система дифференциальных уравнений, записанная в векторной форме (здесь неизвестная вектор-функция), и рассматриваются решения этой системы, удовлетворяющие начальному условию и определённые на полуоси Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого найдётся такое что для всех удовлетворяющих неравенству решение системы (1) с начальным условием продолжается на всю полуось и для всех имеет место неравенство В противном случае решение называется неустойчивым.

Дадим геометрическую интерпретацию этому определению. Окружим график функции “трубочкой” (криволинейным цилиндром) радиуса Устойчивость решения означает, что для любого (т.е. любой “трубочки”) найдётся такой “диск” что все решения, “выпущенные” из “диска”, будут лежать внутри “трубочки”.

Отметим теперь, что вопрос об устойчивости решения системы можно свести к вопросу об устойчивости нулевого решения (т.е. функции, тождественно равной нулю) некоторой другой системы. А именно, положим Тогда Таким образом, система (1) с неизвестной функцией равносильна системе

(2)

в которой неизвестной функцией является При этом решению системы (1) соответствует нулевое решение системы (2). Решение системы (1) устойчиво в том и только том случае, если устойчиво нулевое решение системы (2). В дальнейшем мы будем предполагать, что на устойчивость исследуется нулевое решение системы.

Достаточное условие устойчивости даёт теорема Ляпунова, к изложению которой мы сейчас перейдём. Но перед этим определим функцию Ляпунова, участвующую в формулировке теоремы.

Функцией Ляпунова называется дифференцируемая функция которая является положительно определённой в том смысле, что при всех и

Примерами функций Ляпунова могут служить (при и т.д.

Теорема Ляпунова. Если для системы дифференциальных уравнений

существует функция Ляпунова такая, что для всех то нулевое решение системы устойчиво.

Доказательство теоремы разобьём на несколько пунктов.

Заметим, что если решение системы, то, подставив в функцию Ляпунова, мы получим функцию одного переменного Эта функция убывающая (в нестрогом смысле), так как
Рассмотрим сферу радиуса в пространстве Эта сфера является ограниченным замкнутым подмножеством пространства (компактом), поэтому существует Так как положительно определена, то
Ввиду непрерывности функции существует такое то при всех
Осталось проверить выполнение определения устойчивости. Пусть решение системы с начальным условием таким, что Для доказательства теоремы теперь достаточно показать, что график функции не выходит за пределы цилиндра радиуса т.е. что при всех Действительно, если не для всех и наименьшее значение, для которого то точка лежит на сфере поэтому (см. пункт 2), а (см. пункт 3). Итак, мы имеем: и а это противоречит доказанному в пункте 1 убыванию функции Теорема доказана.

Устойчивость решений системы с постоянными коэффициентами оказывается тесно связанной с собственными значениями матрицы системы и в большинстве случаев полностью определяется ими, как показывает следующая теорема. Доказательство теоремы мы опустим, отсылая читателя к учебникам по дифференциальным уравнениям с более подробным изложением. Отметим лишь, что она может быть доказана с использованием теоремы Ляпунова и приведения матрицы системы к жордановой нормальной форме.

Теорема. Пусть дана система дифференциальных уравнений

где матрица размера с элементами непрерывная вектор-функция, определённая для Пусть С – собственные значения матрицы А. Тогда:

если то всякое решение системы устойчиво;
если для какого-либо то всякое решение системы неустойчиво.

Теорема не даёт ответа на вопрос об устойчивости решений в случае, когда при всех и для какого-либо

Нелинейные системы часто удаётся исследовать на устойчивость, осуществив линеаризацию системы, т.е. замену нелинейной на близкую к ней ( в определённом смысле) линейную систему. А именно, пусть система имеет вид

(

Выделим каким-либо способом у функций главную линейную часть (т.е. разложим функции по формуле Тэйлора до членов первого порядка):

где а достаточно мала. Тогда вопрос об устойчивости нелинейной системы сведётся к аналогичному вопросу для линейной системы с постоянными коэффициентами, а он рассматривался в предыдущей теореме. Точный математический смысл высказанного утверждения даётся следующей теоремой,

доказательство которой здесь не приводится и может быть найдено в учебниках по дифференциальным уравнениям с более подробным изложением.

Теорема об устойчивости по первому приближению. Пусть дана система дифференциальных уравнений где постоянная -матрица, а вектор-функция удовлетворяет условию при для некоторой константы Пусть собственные значения матрицы А. Тогда:

если то нулевое решение системы устойчиво;
если при некотором то нулевое решение системы неустойчиво.

Примеры решения задач

Определить устойчивость решения уравнения п-го порядка

с начальным условием

Решение. Устойчивость означает, что небольшое изменение начальных условий не вызывает значительного изменения решения. Поэтому решение естественно назвать устойчивым, если для любого существует такое что для любого набора чисел таких, что решение с начальным условием существует на всей полуоси м для всех удовлетворяет неравенству

Пользуясь лишь определением устойчивости, выяснить, устойчивы ли решения данных уравнений с заданными начальными условиями:

а) б)

Решение. а) Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Имеем: откуда Это общее решение данного уравнения. Чтобы найти решение, удовлетворяющее данному начальному условию, надо подставить в эту формулу Получим а значит, Пусть решение уравнения с другим начальным условием. Для устойчивости необходимо, чтобы т.е. Но каково бы ни было число С, отличное от нуля, всегда можно найти достаточно большое для которого Следовательно, решение уравнения неустойчиво.

б) Решения этого уравнения имеют вид Эти функции определены на всей действительной оси. Кроме того, Значит, решение, проверяемое на устойчивость, – это Функция имеет на промежутке максимум Поэтому Это доказывает устойчивость. Здесь

Какие из следующих функций являются функциями Ляпунова:

а) б) в)

Решение. а) Функция дифференцируема и положительно определена, поэтому является функцией Ляпунова.

б) Эта функция не является положительно определённой, так как Следовательно, эта функция не является функцией Ляпунова.

в) Функция недифференцируема в точке поэтому не является функцией Ляпунова.

Доказать устойчивость нулевого решения системы, используя функцию Ляпунова: а) б)

Решение. а) Возьмём в качестве функции Ляпунова функцию Имеем: при всех Следовательно, нулевое решение системы устойчиво.

б) Положим Тогда

Следовательно, по теореме Ляпунова нулевое решение системы устойчиво.

Выяснить, устойчивы ли решения системы:

а) б)

Решение. а) Найдём собственные значения матрицы системы Для этого решим характеристическое уравнение Имеем:

Корни этого кубического уравнения следующие: Так как существует то решения системы неустойчивы.

б) Решая характеристическое уравнение получаем: Так как и то решения системы устойчивы.

Найти интервал изменения параметра на котором нулевое решение системы является устойчивым.

Решение. Найдём собственные значения матрицы системы Имеем: Отсюда Возможны два случая: и В первом случае или а оба корня действительные числа. Для устойчивости нужно, чтобы оба корня были меньше нуля, что равносильно выполнению неравенства Решив это неравенство, получим: Во втором случае и оба корня комплексные. Имеем: Для устойчивости нужно, чтобы Следовательно, Объединив оба случая, получим: Это наибольший интервал устойчивости.

Исследовать на устойчивость нулевое решение системы, используя теорему об устойчивости по первому приближению:

Решение. При малых мы имеем: где

Таким образом, система имеет вид

где Исследуем теперь на устойчивость линеаризованную систему, т.е. линейную систему, полученную отбрасыванием слагаемых Найдём собственные значения:

откуда Так как то по теореме об устойчивости по первому приближению мы получаем, что нулевое решение исходной системы (нелинейной) устойчиво.

Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения

Решение. Полагая сведём уравнение к системе, получим: Линеаризованная система имеет вид Найдём собственные значения её матрицы: Так как то нулевое решение системы устойчиво.