Глава 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы

1. Общие замечания. Однородные и неоднородные уравнения и системы

Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида

(1)

где непрерывные на некотором отрезкефункции.

Системой линейных дифференциальных уравнений (первого порядка) называется система

(2)

где непрерывные на отрезкефункции. Система (2) может быть записана в матричной форме:

(3)

где матрицы исоставлены из функцийа

вектор-функция, которую требуется найти.

Введём в рассмотрение оператор дифференцирования Применение этого оператора к функции будет обозначать её дифференцирование, т.е.Произведение операторов – это оператор, действие которого заключается в последовательном применении этих операторов к функциям. Следовательно,и т.д. Операторявляется линейным в том смысле, что

и

Если положить то уравнение (1) запишется короче:

(4)

Это уравнение называется линейным неоднородным, а уравнение

(5)

линейным однородным. Аналогично этому система (3) – неоднородная, а система

(6)

однородная. Заметим, что сумма двух решений однородного уравнения (или однородной системы) и вообще любая линейная комбинация решений также являются решениями уравнения (системы): действительно, если итодля систем доказательство аналогичное.

Если какое-либо решение неоднородной системы (3), арешение однородной системы (6), то мы имеемиСкладывая эти два равенства, мы получимследовательно,является решением неоднородной системы. Итак, сумма решения однородной системы с решением неоднородной является решением неоднородной. Пусть теперьрешения неоднородной системы. Тогдат.е.решение однородной системы. Так както мы получим, что всякое решение неоднородной системы получается из другого решения этой системы прибавлением к нему подходящего решения однородной системы. Какое-либо фиксированное решение однородной системы назовёмчастным решением. Только что проведённые рассуждения приводят к следующей теореме:

Теорема 1. Всякое решение неоднородной системы получается из какого-либо частного решения этой системы прибавлением к нему подходящего решения однородной системы

Эту теорему можно записать символически следующим образом:

Таким образом, чтобы найти все решения неоднородной системы, достаточно найти какое-либо её решение (частное) и прибавить к нему все решения однородной системы.

Аналогичная теорема имеет место для линейных уравнений -го порядка. А именно:

Теорема 2. Всякое решение неоднородного уравнения является суммой какого-либо (частного) решения этого уравнения и подходящего решения однородного уравнения

Символическая запись этой теоремы имеет следующий вид:

2. Фундаментальная система решений однородной системы м однородного уравнения

Пусть дана однородная система гдематрица, состоящая из непрерывных на отрезкефункцийФундаментальной системой решений этой системы называется совокупность вектор-функций определённых на отрезкеи обладающих следующими свойствами:

1. линейно независимы;

2. всякое решение линейно выражается черезт.е. представимо в видегдепостоянные.

Не случайно количество функций, входящих в фундаментальную систему решений, совпадает с количеством уравнений. Мы докажем, что система линейных уравнений первого порядка имеет фундаментальную систему решений, состоящую изп функций.

Теорема 1. Пусть дана система гдематрица размерасостоящая из функцийнепрерывных на отрезкеТогда существует фундаментальная система решенийданной системы.

Доказательство. Возьмём какие-нибудь линейно независимых постоянных векторовпространстванапример,Пустьточка отрезкаПо теореме существования и единственности решения системы можно найти такие вектор-функциюудовлетворяющих системеи начальному условиюДокажем, чтои есть фундаментальная система решений.

Вначале докажем, что функции линейно независимы. Действительно, пустьдля некоторыхПодставив в это тождествополучим:т.е.Так как векторылинейно независимы, точто м требовалось доказать.

Теперь докажем, что любое решение системы является линейной комбинацией вектор-функций Пустьлюбое решение системы. Тогдавектор изТак какбазис пространстватодля некоторыхПоложимТак как система дифференциальных уравнений – линейная однородная и функцииеё решения, то функциякак их линейная комбинация, также является решением. Кроме того,Таким образом,иВвиду единственности решения мы получаем, чтоСледовательно,

Рассмотрим теперь линейное уравнение п-го порядка

(7)

где функции, непрерывные на отрезкеФундаментальной системой решений уравнения (7) называется совокупность непрерывных на отрезке функцийудовлетворяющих условиям:

1. линейно независимы;

2. любое решение уравнения линейно выражается через функциит.е. представляется в видегдепостоянные числа.

Теорема 2. Всякое однородное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет фундаментальную систему решений, состоящую из п функций.

Доказательство. Выведем эту теорему из теоремы 1, сведя уравнение п-го порядка к системе. Очевидно, уравнение (7) равносильно системе дифференциальных уравнений первого порядка

(8)

при этом По теореме 1 существует фундаментальная система решенийсистемы (8). Из вида системы (8) следует, что вектор-функцииимеют видПроверим, чтои есть фундаментальная система решений уравнения (7). Действительно, если то, дифференцируя это равенство, будем получать откуда следует равенствоТак каклинейно независимы, тоЕсли теперьлюбое решение уравнения (7), торешение системы (8). Следовательно,для некоторыха значит,

Замечание. Результаты этого параграфа показывают, что все решения линейной однородной системы п дифференциальных уравнений первого порядка, а также все решения линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка образуют линейное пространство над полем действительных чисел. Фундаментальная система решений – базис этого пространства.