3. Дифференцирование векторов, матриц, определителей. Комплекснозначные функции действительного аргумента

Дифференцирование векторов и матриц осуществляется по обычным правилам:

если вектор-функция, то

если матрица, состоящая из функций от то

Операция дифференцирования является линейной в том смысле, что для вектор-функций и констант для матриц и констант

Аналогичным образом осуществляется интегрирование вектор-функций и матриц. А именно,

Дифференцирование произведений векторов и матриц (скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, произведение матриц, произведение вектора на скаляр и т.д.) сохраняет многие, но не все свойства, присущие дифференцированию произведения обычных функций. Так, например, если векторы из координаты которых зависят от переменной и их скалярное произведение, то Для векторного произведения также но в общем случае Аналогично этому для произведения матриц Интересно отметить, что а правильная формула выглядит так: Докажем в качестве примера формулу дифференцирования скалярного произведения векторов. Пусть Тогда

Дифференцирование определителя может быть выполнено на основании следующей теоремы.

Теорема.

Доказательство. Определитель матрицы записывается формулой

где суммирование ведётся по всем подстановкам а обозначает количество инверсий в подстановке Поэтому

откуда следует требуемое равенство.

Комплекснозначная функция действительного аргумента определяется как функция от значения которой – комплексные числа. Она может быть представлена в виде где а обычные действительные функции. Функцию можно рассматривать как вектор-функцию поэтому для производной имеет место равенство

Проверим, что для комплексных функций действительного аргумента справедливо равенство

(9)

Действительно, пусть Тогда

поэтому

С другой стороны,

Видно, что эти выражения совпадают.

Для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет важное значение функция где С. Воспользуемся для преобразования этого выражения формулой Эйлера: Если где R, то Докажем, что для комплексного числа имеет место обычная формула Действительно,

Примеры решения задач

1. Доказать формулу где и матрицы размеров и соответственно.

Решение. -й элемент произвольной матрицы Х будем обозначать символом Пусть Тогда Отсюда

2. Вывести формулу дифференцирования смешанного произведения векторов.

Решение.

3. Доказать, что если вектор имеет постоянную длину, то векторы и перпендикулярны друг другу.

Решение. Так как то скалярное произведение Отсюда получаем: Отсюда получаем: т.е. Это означает, что

4. Пусть действительная функция, а комплекснозначная. Доказать, что

Доказательство. Пусть где действительные функции. Тогда