Типовые задачи

1. Найти все решения системы

Решение. Составим характеристическое уравнение: Его корни:Найдём собственные векторы из системыДляимеем:откуда

Для имеем:откуда

Таким образом, общее решение системы имеет вид

2. Найти решение системы

удовлетворяющее начальному условию

Решение. Характеристическое уравнение имеет корниДляимеем системуЕё ненулевое решение:Дляимеем системуЕё ненулевое решение:Наконец, дляимеем:Её ненулевое решение:Таким образом, общее решение системы имеет видПодставим в это равенствои воспользуемся начальным условием. Тогда будем иметь

Мы получили систему уравнений для нахождения Решив её, получим:Отсюда получаем окончательный ответ:

3. Решить уравнение двумя способами: а) непосредственно и б) сведением к системе. Сравнить полученные решения.

Решение. Сначала решим это уравнение непосредственно. Составим характеристическое уравнение: Его корни:Следовательно, общее решение уравнения имеет следующий вид:

Теперь сведём это уравнение к системе. Положим ТогдаЗначит, наше уравнение эквивалентно системеМатрица этой системы:Характеристическое уравнение:Нетрудно видеть, что это уравнение совпадает с характеристическим уравнением, написанным ранее для дифференциального уравнения. Для каждого из корней характеристического уравнения найдём соответствующий ему собственный вектор. Еслито мы получаем системуиз которой находим собственный векторДля корняполучаем системуиз которой находимОтсюда следует, что общее решение системы имеет видВзяв у векторов первые координаты, получим:Так какискомая функция, то мы получили общее решение нашего уравнения:Формула совпадает с той, которая была получена непосредственным решением уравнения.

4. Решить систему сведя её к одному уравнению второго порядка.

Решение. Выразим из первого уравнения:Подставим это выражение во второе уравнение:откуда получаем для функцииуравнение второго порядка:Его характеристическое уравнение имеет корниСледовательно,Теперь находим функцию

Таким образом, общее решение системы имеет вид

Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений сводится к одному уравнению. Примером может служить система Однако, если, например, положитьто для функцийполучится уравнение второго порядка:

5. Решить систему методом вариации постоянных:

Решение. Сначала решим однородную систему Характеристическое уравнениеимеет корниСобственный вектор, соответствующийравенПоэтомукомплексное решение системы. Выделим действительную и мнимую части:

Значит, общее решение однородной системы имеет вид гдепостоянные. Переходя к решению неоднородной системы, будем далее считать, чтоТогда

Подставив в исходную систему, получим: Решив эту систему линейных алгебраических уравнений относительнополучим:Проинтегрировав эти равенства, будем иметьгдепостоянные. Таким образом, общее решение исходной системы имеет видгдепостоянные.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти все решения системы дифференциальных уравнений:

а) б)в)г)

д) е)ж)

з) и)к)

л) м)

2. Решить неоднородную систему методом вариации постоянных:

3. Решить систему

Ответы: 1. а) б)

в)

г) д)

е)

ж)

з)

и) к)

л) м)

2.

3.