Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
35
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
2.72 Mб
Скачать

Типовые задачи

  1. Найти все решения уравнений:

а) б)в)

г) д)е)ж)

Решение. а) Составим характеристическое уравнение: Его корни:Следовательно, общее решение уравнения имеет видгдеконстанты.

б) Характеристическое уравнение: Его корни:Следовательно,

в) Характеристическое уравнение: т.е.Корни:Следовательно,

г) Здесь ищется функция Характеристическое уравнение:корни:Поэтому

д) Имеем: ОтсюдаБазисные функции (т.е. функции, образующие фундаментальную систему решений):иСледовательно,

е) Характеристическое уравнение: его корни:Поэтому

ж) Характеристическое уравнение: Его корни:Запишем число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:По формуле Муавра

где Таким образом,

Отсюда получается формула общего решения:

2. Составить дифференциальное уравнение, имеющее следующую фундаментальную систему решений:

а) б)в)

Решение. а) Корни характеристического уравнения равны: Следовательно, характеристическое уравнение имеет видилиЗначит, дифференциальное уравнение выглядит так:

б) Здесь трёхкратный корень, поэтому характеристическое уравнение имеет видилиСледовательно, дифференциальное уравнение имеет вид

в) Здесь поэтому характеристическое уравнение имеет видт.е.Заменяя степенина производные, получим дифференциальное уравнение:

  1. Решить уравнение Эйлера

Решение. Положим ТогдаПодставив в уравнение, получим:(здесьПосле упрощения будем иметьХарактеристическое уравнениеимеет корниСледовательно, общее решение имеет видВозвращаясь к переменнойполучим:Такой же результат будет получен, если сделать замену

  1. Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям: а) б)

Решение. а) Составим характеристическое уравнение: Его корни:Общее решение уравнения:Подставим в эту формулуНайдём производную:Так както мы получаем:Следовательно,Отсюда

б) Характеристическое уравнение: Корни:Общее решение уравнения:Так кактоЗначит,Дифференцируем:Подставим начальные условия.Таким образом,Значит,.

  1. Решить уравнение методом вариации постоянных:

Решение. Сначала решим однородное уравнение Его характеристическое уравнение имеет видего корни:Функциииобразуют фундаментальную систему решений однородного уравнения, а его общее решение имеет видРешение неоднородного уравнения будем искать в виде

(20)

Продифференцируем это равенство: Потребуем, чтобы

(21)

Тогда ОтсюдаПодставим выражения дляв исходное уравнение:

После упрощения получаем: Это равенство вместе с равенством (21) составляют систему линейных уравнений относительно

Решив эту систему, получим: Проинтегрировав эти равенства, получим:гдепостоянные. Следовательно, общее решение уравнения имеет видЭто окончательный ответ.

На примере данного уравнения хорошо видно строение общего решения неоднородного уравнения. Действительно, перепишем последнюю формулу в виде Тогда мы увидим, чточастное решение неоднородного уравнения, аобщее решение однородного уравнения.

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найти все решения уравнения:

а) б)в)

г) д)е)

ж) з)и)

к) л)м)

н) о)п)

  1. Составить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, для которого данное множество функций является фундаментальной системой решений:

а) б)в)

  1. Решить уравнение методом вариации постоянных:

а) б)в)

  1. Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:

а)

б)

  1. Решить однородные уравнения Эйлера:

а) б)в)

  1. Решить уравнение, считая известной функцией:

а) б)

  1. Найти решения уравнения, ограниченные при

а) б)

Ответы: 1. а) б)в)

г) д)е)ж)з)и)к)

л)

м)

н) о)

п)

  1. а) б)в)

  2. а) б)

в)

  1. а) б)

  2. а) б)в)

  3. а)

б)

7. а) б)

Соседние файлы в папке Диф.уры Прокофьев