Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
22
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
804.86 Кб
Скачать

§ 3. Линейное уравнение

1. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной, называется линейным, если его правая часть линейна, т. е. первой степени, относительно у:

(1)

Уравнение это линейно как относительно функции у, так и относительно ее производной у'.

Положим, что функции Р (х) и Q(x) непрерывны в интервале . В этом случае, как будет показано, через каждую точку полосы проходит единственное решение данного уравнения.

Рассмотрим сначала линейное однородное уравнение, соответствующее уравнению (I):

. (2)

Мы предполагаем, следовательно, что свободный член . Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные

и интегрируем:

или

(3)

Решение , не получаемое из (3), не является особым, так как ни одна из показательных кривых не пересекает оси Ox. Условившись параметру в (3) приписывать и значение, равное нулю, получаем окончательно общее решение:

(4)

Решение, удовлетворяющее начальным условиям, где ‑ любая точка области G, может быть написано в виде:

Такое решение единственное.

Для нахождения решения уравнения (1) применим метод варьирования постоянной: в общем решении (4) однородного уравнения заменим постоянное С функцией :

(6)

При этом постараемся подобрать так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению (1). Мы увидим, что таких функций найдется не одна, а множество (семейство, зависящее от одного параметра). Дифференцируем (6) и подставляем в данное уравнение (I):

.

Отсюда

и, следовательно,

. (7)

Подставляя найденное выражение для С(х) в (6), получаем общее решение линейного уравнения:

. (8)

Чтобы получить решение с начальными условиями , нужно в решение (5) однородного уравнения вместо подставить такую определяемую соотношением (7) функцию , которая при принимала значение . Такая функция найдется только одна:

.

Подставляя в (6), находим искомое единственное решение:

. (9)

Таким образом, доказано следующее предложение:

Теорема. Линейное дифференциальное уравнение

,

где Р(х) и Q(x) ‑ функции, непрерывные в интервале , имеет общее решение, выражаемое в квадратурах; при этом через каждую точку внутри полосы G, ограниченной прямыми х=а и у=b, проходит, единственная интегральная кривая этого уравнения.

Таким образом, внутри полосы G, а если Р(х) и Q(x) всюду непрерывны, то во всей плоскости Oxу, линейное уравнение не имеет особых точек, а следовательно, и особых решении.

2. Если уравнение не разрешено относительно производной, то, чтобы установить его линейность, надо убедиться, что оно содержит у и у' в первой степени и не содержит их произведения. Чтобы пользоваться выведенной выше формулой (8). надо разрешить его относительно производной. Однако при интегрировании линейного уравнения (1) можно обойтись и без пользования готовой формулой, а искать решение в виде произведения:

, (10)

где и и v ‑ функции от х, которые постараемся подо­брать так, чтобы их произведение удовлетворило данному уравнению. Подставляя (10) в уравнение (1), получаем:

или

. (*)

Функцию и выбираем так, чтобы

.

Для этого нужно, чтобы (мы берем одно из возможных значений для u).При таком выборе и соотношение (*) примет вид:

.

Отсюда

.

Произведение u на v и дает искомое решение.

3. Из формулы (8), дающей решение линейного уравнения, мы видим, что

,

т. е. общее решение линейного (неоднородного) уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Впоследствии будет показано, что этим свойством обладают и линейные уравнения высшего порядка.

Из предшествующего следует, что, зная одно какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения и какое-либо частное решение соответствующего однородного уравнения, мы можем записать общее решение неоднородного уравнения в виде:

. (**)

Если теперь , и ‑ два каких-либо частных решения неоднородного уравнения, так что

и ,

то, вычитая, получаем:

.

Разность оказывается, таким образом, решением однородного уравнения. А потому согласно (**) общее решение можно записать в виде:

,

или

(***)

Таким образом, любое решение линейного неоднородного уравнения выражается линейной комбинацией вида (***) двух каких-либо его частных решений.

Разбор типовых примеров

1. Решить уравнение .

Решение:

Первый способ

второй способ

Ответ:

2. Решить уравнение

Решение:

,

Ответ:

3. Решить уравнение

Решение: ,

, , ,

Ответ:

4. Решить уравнение

Решение:

.

Ответ:

5. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

6. Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

7. Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

8. Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

9. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

10. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

11. Решить уравнение .

Решение: ,

Ответ:

12. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

13. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

14. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

15. Решить уравнение

Решение:

y=Cx, ,

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1. Ответ:

2. . Ответ:

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

5. . Ответ: x =Cey - y2 - 2y - 2 .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ:

10. Ответ:

11. Ответ: .

12. Ответ:

13. Ответ:

14. Ответ:

15. Ответ:

16. Ответ:

17. Ответ:

18. Ответ:

19. Ответ:

20. Ответ:

21. Ответ:

22. Ответ:

23. Ответ:

24. Ответ:

25. Ответ:

26. Ответ:

27. Ответ:

28. Ответ:

29. Ответ:

Указание:

30. Ответ:

Указание:

Уравнение Бернулли

К линейному уравнению может быть приведено уравнение:

,

называемое уравнением Бернулли. Показатель т может быть любым числом; но при получаем линейное уравнение, а при ‑ уравнение с разделяющимися переменными; поэтому считаем, что .

Делим на, или, что то же, умножаем на :

.

Вводя подстановку и, следовательно,

,

приходим к линейному уравнению:

.

Находя его решение по формуле (8), получаем общий интеграл данного уравнения (12):

.

Таким образом, уравнение Бернулли также интегрируется в квадратурах. Помимо общего интеграла (11), данное уравнение при m >0 имеет еще очевидное ре­шение у = 0, не получаемое из общего. (Решение это не могло получиться из общего потому, что при выводе последнего мы делили на и потому предполагали, что .)

При решении уравнения Бернулли нет необходимости пользоваться готовой формулой (11); проще подстановкой превратить его в линейное уравнение.

Задача. Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy, равен квадрату ординаты точки касания.

Решение. Таким образом, условие задачи требует, чтобы (рис. 1)

.

Отрезок находим из уравнения касательной: , положив в нем ; тогда .

Дифференциальное уравнение задачи, таким образом, будет:

Разрешая его относительно у':,

видим, что это уравнение Бернулли.

Рис. 1. Деля на у2 и полагая , откуда , приходим к линейному уравнению:

. (а)

Обозначая , получим ;

.

Замечая, что , получаем:

, или .

Искомые кривые ‑ гиперболы и (при ) прямая . Кроме того, решением является также прямая .

Решение типовых примеров

1. Решить уравнение

Решение:   0 , следовательно, есть тривиальное решение у = 0. Делим обе части данного уравнения на :

Делаем замену , и подставляем в последнее уравнение:

(линейное уравнение).

Ответ:

2. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

3. Решить уравнение

Решение:

,

Ответ:

4. Решить уравнение

Решение:

,

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Мы не исправляем ошибки в тексте (почему?), но будем благодарны, если вы все же напишите об ошибках.

Соседние файлы в папке Диф.уры Прокофьев