Глава 2.Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах

Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной, если производную выразить через отношение дифференциалов, следующий:

. (1)

Рассмотрим основные типы уравнений вида (1), интегрируемых в квадратурах.

§1. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение (1) называется уравнением с разделяющимися переменными,если функция представляет собой произведение функции переменногоxна функцию переменногоу:

(2)

Предполагая инепрерывными в промежуткахисоответственно и в, деля наи умножая на,мы добиваемся разделения переменных:

.(3)

Функции и непрерывны, а следовательно, имеют первообразные:

и

Так что (3) может быть переписано в виде:

. (4)

Из равенства дифференциалов двух функций (здесь урассматривается как функция отх,определяемая дифференциальным уравнением) заключаем, что сами функции отличаются на постоянную:

, (5)

или

. (6)

Соотношение (5), или (6) и представляет собой общий интеграл уравнения (3), так как это соотношение, переписанное в виде

, (7)

удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции; производные и непрерывны в области и. Поэтому уравнение (7) определяетукак функцию отх,непрерывную и дифференцируемую, причем

,

т. е. функции, определяемые уравнением (7), а следовательно и (6), являются решениями данного дифференциального уравнения.

Замечание.1. При различных значенияхСполучаются различные функции. При фиксированномС(выборСопределяется начальными условиями )решение единственное.

2. Всякая функция ,являющаяся решением данного уравнения (2), тождественно ему удовлетворяющая, должна удовлетворять и вытекающему из него соотношению (5) или (6). Таким образом, (6) действительно является общим интегралом. Кроме того, из (4) видно, что любые начальные условия из Qоднозначным образом определяют надлежащее значениеСи, следовательно, соответствующее единственное решение.

Таким образом, доказана

Теорема.Если в уравнении с разделяющимися переменными функции и непрерывны в интервалах исоответственно и, то общий интеграл этого уравнения выражается в квадратурах:

причем заданными начальными условиями , где ‑ любая точка прямоугольника определяется единственное решение этого уравнения.

Интеграл (7) дифференциального уравнения, определяющий решение, удовлетворяющее начальным условиям, можно переписать в виде: или

Замечание.Если при некотором, то дифференциальное уравнение (2) имеет решение. Но так как интегралприне существует (по крайней мере как собственный), то это решение не входит в состав общего интеграла (6). Поэтому, если в дифференциальном уравнении , то уравнение, кроме общего интеграла, имеет еще решение, не получающееся из общего. Будет ли при этом решениеособым? Этот вопрос требует специального рассмотрения .

Уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме имеет вид:

(8)

Разделяя в нем переменные и интегрируя, получаем общий интеграл:

.

При этом, если или , то, кроме общего интеграла, будут еще решения:и, не получаемые из общего; соответствующие им интегральные кривые‑прямые, параллельные осям координат.

Интеграл, удовлетворяющий начальным условиям ,запишется в виде:

.