
§ 5. Уравнения, не разрешенные относительно производной
Рассмотренные
выше типы уравнений, интегрировавшихся
в квадратурах, были уравнениями,
разрешенными относительно производной.
К уравнениям. не разрешенным относительно
производной, в некоторых случаях
оказывается применим метод введения
параметра. Идея метода заключается
в том, что в данном дифференциальном
уравнении
производная
рассматривается как параметр (
)
и уравнение приобретает вид
,
и из данного уравнения выводится другое,
с ним совместное (и содержащее произвольную
постоянную):
.
Исключение параметрариз
системы:
,(1)
приводит к общему
интегралу данного уравнения
.Если исключитьриз системы (1)
фактически не удается, то может оказаться
возможным, исключая из (1) поочередноуих,получить решение в параметрической
форме:
(2)
Само получение из
уравнения
второго уравнения системы (1) производится
путем его дифференцирования и последующего
интегрирования. Однако в общем случае
дифференцирование уравнения
пох(или поу)приводит к
соотношению между тремя переменнымих, у, ри
(или
),
которое не интегрируется.
В том
случае, когда данное дифференциальное
уравнение может быть разрешено
относительно х или относительноy,
дифференцирование приведет к соотношению
между переменнымих, ри(или переменнымиу, ри
)
т. е. к дифференциальному уравнению 1-го
порядка, и притом разрешенному относительно
производной. Так как переменные эти
рассматриваются как равноправные, то
достаточно ограничиться исследованием
одного из этих случаев. В дальнейшем
рассмотрим уравнения, разрешенные
относительно функции:
.
(3)
Согласно сказанному
выше полагаем
,так что данное уравнение перепишется
в виде:
.
(4)
Дифференцируя
данное уравнение по х[функция
,таким образом, предполагается
дифференцируемой] и замечая, что
,получаем:
.
(5)
Отсюда
.
(6)
Полученное уравнение является дифференциальным уравнением 1-го порядка с переменными х и р. Предполагая, что уравнение (6) интегрируется в квадратурах, находим его интеграл в виде:
.
(7)
Исключение риз (4) и (7) приводит нас к общему интегралу данного уравнения (3). При этом, если уравнение (7) разрешимо относительнор:
,(8)
то, подставляя выражение для рв (4), получаем общее решение:
;(9)
если же уравнение (7) окажется разрешимым относительно х:
,
(10)
то, подставляя значение
хв (4), получаем:
,
что вместе с (10) дает общий интеграл
данного уравнения в параметрической
форме:
(11)
Замечание.В уравнении
или
нельзя рассматриватьркак производную
с тем, чтобы далее находить общее решение
данного уравнения интегрированием
уравнения
,
ибо это значило бы искать решение не
данного уравнения, а уравнение (второго
порядка!), которое получено из данного
путем его дифференцирования и которое
ему не равносильно. Так, уравнение
имеет решение
.Для уравнения же
решением служит
.После того как (путем дифференцирования,
а затем интегрирования) получено
уравнение
,
отыскание решения производится без
квадратур, а путем исключения параметра.
Таким образом, в момент дифференцирования
уравнения
p еще не параметр, а производная
и, следовательно, функция отх, и
полученное дифференциальное уравнение
является дифференциальным уравнением
этой функциир. Но после того как
это дифференциальное уравнение
проинтегрировано, длярполучено
конечное уравнение
,
и рассматривается система, в которойрподлежит исключению: с этого моментар
считается параметром.