Случаи понижения порядка

I. В случае, если дифференциальное уравнение имеет вид , где заданная функция. Общее решение этого уравнения можно получить произведя последовательно n интегрирований; при каждом интегрировании будет появляться новая произвольная постоянная. Общий интеграл уравнения имеет вид

II. Уравнение

не содержащее явно и младших производных до порядка включительно, допускает понижение порядка на единиц. Для этого выполняется замена . Тогда

сводится к нормальному уравнению

и уравнение относительно будет порядка :

.

Если найдено решение общее решение этого уравнения , то для определения получим уравнение . Интегрируя его, получаем общее решение исходного уравнения.

III. . Уравнение

не содержащее явно независимой переменной допускает понижение порядка на единицу путем замены обеих переменных посредством подстановки (за новую независимую переменную принимаем ) с последующим выражением производных у, у, у^IV,... в соответствии с формулами

у^(IV) …

IV. Пусть F(x, u₀, u₁,..., u_n) ‑ однородная функция степени относительно аргументов u₀, u₁,..., u_п , то есть при t  0 F(x, tu₀, tu₁,...,tu_п)= t^{k .}F(x, u₀, u₁,..., u_п) . Тогда порядок “однородного” дифференциального уравнения F(x, y, y,...,y^(п))=0 может быть понижен на единицу с помощью замены у=  е , где z(x) ‑ новая неизвестная функция (при этом у= 0 является дополнительным решением исходного однородного уравнения).

Задачи с решениями

1. Найти общее решение уравнения

Решение: Интегрируя последовательно данное уравнение, получим

Ответ:

2.

Решение: данное уравнение не содержит искомой функции и ее производных до третьего порядка включительно. Замена:

Ответ:

3. .

Решение: Замена: ,

Ответ: у=С₁

4. .

Решение: Функция является однородной функцией степени 2 относительно аргументов .

Замена:

(при С₁=0 получается дополнительное решение ).

Ответ: y=C₁x

5.

Решение:

Ответ:

6.

Решение: 1 способ. Домножим на обе части данного уравнения:

2 способ. Замена

Далее преобразования те же, что в 1 способе.

3 способ. Функция является однородной функцией степени 1 относительно аргументов .

Замена:

4 способ. Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным второго порядка с постоянными коэффициентами.

Замена:

Ответ:

7.

Решение: В уравнении явно отсутствуют х и у Замена:

Ответ:

8.

Найти все частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

Решение:

Ответ:

9.

Решение: отсутствует x в явном виде, следовательно делаем замену:

Ответ:

10.

Решение:

Ответ:

11.

Решение: отсутствуют переменные х и у.

Замена:

Исключая параметр, найдем общий интеграл

Ответ:

12.

Решение: .

Ответ:

13.

Решение:

Получили уравнение Клеро. Замена:

1.

2. Найдем семейство особых решений:

Ответ:

14.

Решение:

Ответ:

15.

Решение: левая часть является однородной функцией аргументов

Замена:

(уравнение Бернулли)

(линейное уравнение)

Ответ: .