Уравнение Лагранжа
Возможность интегрирования в квадратурах указанным выше способом зависит от того, будет ли уравнение (6), полученное из данного путем дифференцирования, интегрироваться в квадратурах или нет.
Уравнением, для которого такое интегрирование оказывается всегда возможным, является уравнение Лагранжа:
.(12)
Действительно, заменяя у'черезр:
(13)
и дифференцируя (предполагается, таким образом, что и‑ функции дифференцируемые), получаем:
. (14)
Предполагая, что тождественно (т. е. не есть простор),разрешаем (14) относительно :
(15)
Полученное уравнение (15) является линейным (относительно х и ) и, следовательно, имеет решение в квадратурах вида:
. (16)
Подставляя (16) в (13), мы выразим учерезриС:
,
что вместе с (16) даст нам общий интеграл уравнения Лагранжа (в квадратурах) в параметрической форме:
(17)
В случае, если из уравнений (17) параметр рможно исключить, получаем общий интеграл в обычном виде:
F(x, у,С)=0.
Кроме общего интеграла (17), у уравнения могут быть еще решения, не получаемые из общего. А именно, если ‑ обращается в нуль при,то, исключаяриз условияи уравнения (13), получаем решение:
, (18)
не вытекающее из общего.
Уравнение Клеро
Рассмотренное уравнение Лагранжа могло быть проинтегрировано указанным выше способом при условии, что тождественно. Случайтребует отдельного исследования. При этом предположении уравнение (12) принимает вид:
(19)
и называется уравнением Клеро. Применяя метод введения параметра и дифференцирования, получаем:
(20)
,
откуда
. (21)
Выведенное уравнение (21) будет удовлетворяться, когда:
1) или 2) .
Из первого условия, интегрируя, находим, что р=С. Подставляя найденное значениерв (20), получаем общее решение:
(22)
Сравнивая этот результат с исходным у равнением (19), видим, что общее решение уравнения Клеро получается просто заменой в уравнении производной у'произвольной постояннойС.
Из условия совместно с уравнением (20) находим решение в параметрической форме:
(23)
Что уравнения (23) действительно определяют решение данного уравнения (19), убеждаемся, подставив значения из (23) в (19), предварительно найдя производную :
,
Следует заметить, что проведенное вычисление предполагает, что функция дважды дифференцируема, и является неприменимым в случае, когда . В этом случае представляет собой линейную функцию отр: , а уравнения (23) превращаются в
и, следовательно, не определяют решения ‑ интегральной кривой, а определяют точку. Точка эта является особой точкой дифференциального уравнения, она служит центром пучка прямых:
.
в который в рассматриваемом случае превращается общее решение (22). Во всех остальных случаях, когда , уравнения (23) определяют решение, и притом не получаемое из общего. Это следует из того, что решения (22) при любом значенииС‑ линейные функции, решение же (23) таковой функцией не является, ибо .
Покажем, что решение (23), не вытекающее из общего, является особым решением. Решение (23) получено нами путем совместного рассмотрения уравнений (и последующего исключения параметра р, если это возможно):
(24)
Но этот же результат достигается путем исключения параметра Сиз уравнений:
(25)
первое из которых представляет совокупность интегральных кривых, изображающих общее решение уравнения Клеро, а второе из него получается дифференцированием по параметру С.Как известно из дифференциальной геометрии, в этом случае система уравнений (25) представляет огибающую семейства интегральных кривых. Но огибающая интегральных кривых является особым решением дифференциального уравнения.
Так как общее решение ‑ первой степени, то интегральные линии ‑ прямые. Следовательно, общее решение уравнения Клеро ‑ семейство прямых, а особое ‑ огибающая этого семейства.
Таким образом, интегральные кривые уравнения Клеро состоят из некоторой кривой и всех ее касательных. Это утверждение предполагает, что не является линейной функциейу'.Если же это так, то, как мы видели, интегральные кривые представляют собой пучок прямых; огибающей же, а следовательно, особого решения в этом случае нет.