Типовые задачи

1. Найти все решения уравнения:

(а) (б)

(в) (г)

Решение. (а) Сначала решим однородное уравнение. Его характеристическое уравнение : Корни:ПоэтомуИмеем:поэтомуДалее,(степень многочлена(так какне является корнем характеристического уравнения). Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в видет.е.Продифференцируем эту функцию:Подставим в исходное уравнение:Приравняв коэффициенты прии свободные члены в левой и правой частях равенства, получим:ОтсюдаТаким образом, частное решение неоднородного уравнения равноПрибавив к этому решению все решения однородного уравнения, получим ответ:

(б) Найдём общее решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение: Его корни:Значит,Будем искать частные решения уравнений:

Пусть сначала ТогдаЗначит,Подставим в уравнениеСледовательно,

Пусть теперь ТогдапоэтомуОтсюда следует вид частного решения уравнения:Имеем:

Подставим в уравнение Отсюда получаем:Таким образом,

Наконец, рассмотрим уравнение ЗдесьпоэтомуИмеем:Подставим в уравнениеОтсюда получаем систему:Решение системы:Следовательно,Так както окончательный ответ выглядит так:

(в) Решаем однородное уравнение Его характеристическое уравнение:ОтсюдаПоэтому Неоднородное уравнение разобьём на два: и

Для уравнения имеем:поэтомуПродифференцируем:Подставим в уравнениеПриравнивая коэффициенты приполучим системуЕё решение:Следовательно,

Для уравнения Поэтому

Дифференцируем:

Подставляем в уравнение

Упростим: ОтсюдаСледовательно,Прибавив к суммеобщее решение однородного уравнения, получим ответ:

(г) Решим однородное уравнение Его характеристическое уравнение:Корни:Следовательно,ЗдесьпоэтомуТак кактоТак какне является корнем характеристического уравнения, тоТаким образом, частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

Дифференцируем:

Подставим в исходное уравнение:

После упрощения получим: ОтсюдаТаким образом,Прибавив к этой функции общее решение однородного уравнения, получим ответ:

2. Написать вид частного решения неоднородного уравнения с неопределёнными коэффициентами, при этом коэффициенты не находить:

(а) (б)

(в)

Решение. (а) Характеристическое уравнение однородного уравнения: Его корни:В правой части уравнения стоят функции

Для функции имеем:Поэтому

Для функции имеем:Поэтому

Для функции имеем:ПоэтомуТаким образом,

(б) Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет вид откуда Имеем: Следовательно,

(в) Характеристическое уравнение однородного уравнения: т.е.Его корни:

Для уравнения имеем:поэтому

Для уравнения имеем:поэтому

Таким образом,

3. Решить систему: (а) (б)

Решение. Запишем систему в матричном виде: Характеристическое уравнение однородной системы имеет видт.е.Его корни:Составим систему алгебраических уравнений для нахождения собственных векторов. Дляимеем системуоткуда получаем собственный векторДляимеем системуоткудаЗначит,

Перейдём к решению неоднородной системы. Её разобьём на две системы.

Для системы имеем:поэтомуПродифференцируем эту вектор-функцию:Подставим в системуУпростим:Приравнивая коэффициенты многочленов в правой и левой частях равенства, получим:

Решением этой системы служит, например, следующий набор чисел: Следовательно,

Для системы имеем:поэтому Продифференцируем: Подставим в системуОтсюда следует, что

Для коэффициентов получается система линейных алгебраических уравнений:

Решение системы: Следовательно,Складывая частные решенияс общим решением однородной системы, получим ответ:

(б) Вначале решим однородную систему Характеристическое уравнение:Его корни:Собственные векторы:длядляОбщее решение однородной системы:Перейдём к решению неоднородной системы. Имеем:Поэтому частное решение неоднородной системы следует искать в видеПодставим в неоднородную систему:Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений:Её решение:Значит, Таким образом, общее решение системы имеет вид

4. Решить интегральное уравнение

Решение. Продифференцируем уравнение

Продифференцируем ещё раз:

Решение однородного уравнения имеет видЧастное решение однородного уравнения ищем в видеПосле подстановки в уравнениенаходим коэффициентОказывается, чтоСледовательно, общее решение уравненияимеет вид

Продифференцируем это равенство:

Из равенства получаем:Подставим в равенствоОтсюдаИз уравненияприполучаем:Подставимв равенствоСледовательно,Подставив найденные значенияв равенствополучим окончательный ответ: