- •Глава 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы
- •1. Общие замечания. Однородные и неоднородные уравнения и системы
- •2. Фундаментальная система решений однородной системы м однородного уравнения
- •3. Дифференцирование векторов, матриц, определителей. Комплекснозначные функции действительного аргумента
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.Определитель Вронского
- •5. Метод вариации постоянных для неоднородных уравнений и систем
- •6. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Линейные неоднородные уравнения и системы с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
Типовые задачи
Найти все решения уравнения:
(а) (б)
(в) (г)
Решение. (а) Сначала решим однородное уравнение. Его характеристическое уравнение : Корни:ПоэтомуИмеем:поэтомуДалее,(степень многочлена(так какне является корнем характеристического уравнения). Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в видет.е.Продифференцируем эту функцию:Подставим в исходное уравнение:Приравняв коэффициенты прии свободные члены в левой и правой частях равенства, получим:ОтсюдаТаким образом, частное решение неоднородного уравнения равноПрибавив к этому решению все решения однородного уравнения, получим ответ:
(б) Найдём общее решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение: Его корни:Значит,Будем искать частные решения уравнений:
Пусть сначала ТогдаЗначит,Подставим в уравнениеСледовательно,
Пусть теперь ТогдапоэтомуОтсюда следует вид частного решения уравнения:Имеем:
Подставим в уравнение Отсюда получаем:Таким образом,
Наконец, рассмотрим уравнение ЗдесьпоэтомуИмеем:Подставим в уравнениеОтсюда получаем систему:Решение системы:Следовательно,Так както окончательный ответ выглядит так:
(в) Решаем однородное уравнение Его характеристическое уравнение:ОтсюдаПоэтому Неоднородное уравнение разобьём на два: и
Для уравнения имеем:поэтомуПродифференцируем:Подставим в уравнениеПриравнивая коэффициенты приполучим системуЕё решение:Следовательно,
Для уравнения Поэтому
Дифференцируем:
Подставляем в уравнение
Упростим: ОтсюдаСледовательно,Прибавив к суммеобщее решение однородного уравнения, получим ответ:
(г) Решим однородное уравнение Его характеристическое уравнение:Корни:Следовательно,ЗдесьпоэтомуТак кактоТак какне является корнем характеристического уравнения, тоТаким образом, частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
Дифференцируем:
Подставим в исходное уравнение:
После упрощения получим: ОтсюдаТаким образом,Прибавив к этой функции общее решение однородного уравнения, получим ответ:
Написать вид частного решения неоднородного уравнения с неопределёнными коэффициентами, при этом коэффициенты не находить:
(а) (б)
(в)
Решение. (а) Характеристическое уравнение однородного уравнения: Его корни:В правой части уравнения стоят функции
Для функции имеем:Поэтому
Для функции имеем:Поэтому
Для функции имеем:ПоэтомуТаким образом,
(б) Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет вид откуда Имеем: Следовательно,
(в) Характеристическое уравнение однородного уравнения: т.е.Его корни:
Для уравнения имеем:поэтому
Для уравнения имеем:поэтому
Таким образом,
Решить систему: (а) (б)
Решение. Запишем систему в матричном виде: Характеристическое уравнение однородной системы имеет видт.е.Его корни:Составим систему алгебраических уравнений для нахождения собственных векторов. Дляимеем системуоткуда получаем собственный векторДляимеем системуоткудаЗначит,
Перейдём к решению неоднородной системы. Её разобьём на две системы.
Для системы имеем:поэтомуПродифференцируем эту вектор-функцию:Подставим в системуУпростим:Приравнивая коэффициенты многочленов в правой и левой частях равенства, получим:
Решением этой системы служит, например, следующий набор чисел: Следовательно,
Для системы имеем:поэтому Продифференцируем: Подставим в системуОтсюда следует, что
Для коэффициентов получается система линейных алгебраических уравнений:
Решение системы: Следовательно,Складывая частные решенияс общим решением однородной системы, получим ответ:
(б) Вначале решим однородную систему Характеристическое уравнение:Его корни:Собственные векторы:длядляОбщее решение однородной системы:Перейдём к решению неоднородной системы. Имеем:Поэтому частное решение неоднородной системы следует искать в видеПодставим в неоднородную систему:Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений:Её решение:Значит, Таким образом, общее решение системы имеет вид
Решить интегральное уравнение
Решение. Продифференцируем уравнение
Продифференцируем ещё раз:
Решение однородного уравнения имеет видЧастное решение однородного уравнения ищем в видеПосле подстановки в уравнениенаходим коэффициентОказывается, чтоСледовательно, общее решение уравненияимеет вид
Продифференцируем это равенство:
Из равенства получаем:Подставим в равенствоОтсюдаИз уравненияприполучаем:Подставимв равенствоСледовательно,Подставив найденные значенияв равенствополучим окончательный ответ: