
- •Глава 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы
- •1. Общие замечания. Однородные и неоднородные уравнения и системы
- •2. Фундаментальная система решений однородной системы м однородного уравнения
- •3. Дифференцирование векторов, матриц, определителей. Комплекснозначные функции действительного аргумента
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.Определитель Вронского
- •5. Метод вариации постоянных для неоднородных уравнений и систем
- •6. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Линейные неоднородные уравнения и системы с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
Типовые задачи
Найти все решения уравнения:
(а)
(б)
(в)
(г)
Решение.
(а) Сначала решим однородное уравнение.
Его характеристическое уравнение :
Корни:
Поэтому
Имеем:
поэтому
Далее,
(степень многочлена
(так как
не является корнем характеристического
уравнения). Поэтому частное решение
неоднородного уравнения следует искать
в виде
т.е.
Продифференцируем эту функцию:
Подставим в исходное уравнение:
Приравняв коэффициенты при
и свободные члены в левой и правой частях
равенства, получим:
Отсюда
Таким образом, частное решение
неоднородного уравнения равно
Прибавив к этому решению все решения
однородного уравнения, получим ответ:
(б)
Найдём общее решение однородного
уравнения. Характеристическое уравнение:
Его корни:
Значит,
Будем искать частные решения уравнений:
Пусть
сначала
Тогда
Значит,
Подставим в уравнение
Следовательно,
Пусть
теперь
Тогда
поэтому
Отсюда следует вид частного решения
уравнения:
Имеем:
Подставим
в уравнение
Отсюда получаем:
Таким образом,
Наконец,
рассмотрим уравнение
Здесь
поэтому
Имеем:
Подставим в уравнение
Отсюда получаем систему:
Решение системы:
Следовательно,
Так как
то окончательный ответ выглядит так:
(в)
Решаем однородное уравнение
Его характеристическое уравнение:
Отсюда
Поэтому
Неоднородное
уравнение разобьём на два:
и
Для
уравнения
имеем:
поэтому
Продифференцируем:
Подставим в уравнение
Приравнивая коэффициенты при
получим систему
Её решение:
Следовательно,
Для
уравнения
Поэтому
Дифференцируем:
Подставляем
в уравнение
Упростим:
Отсюда
Следовательно,
Прибавив к сумме
общее решение однородного уравнения,
получим ответ:
(г)
Решим однородное уравнение
Его характеристическое уравнение:
Корни:
Следовательно,
Здесь
поэтому
Так как
то
Так как
не является корнем характеристического
уравнения, то
Таким образом, частное решение
неоднородного уравнения следует искать
в виде
Дифференцируем:
Подставим в исходное уравнение:
После
упрощения получим:
Отсюда
Таким образом,
Прибавив к этой функции общее решение
однородного уравнения, получим ответ:
Написать вид частного решения неоднородного уравнения с неопределёнными коэффициентами, при этом коэффициенты не находить:
(а)
(б)
(в)
Решение.
(а) Характеристическое уравнение
однородного уравнения:
Его корни:
В правой части уравнения стоят функции
Для
функции
имеем:
Поэтому
Для
функции
имеем:
Поэтому
Для
функции
имеем:
Поэтому
Таким образом,
(б)
Характеристическое уравнение однородного
уравнения имеет вид
откуда
Имеем:
Следовательно,
(в)
Характеристическое уравнение однородного
уравнения:
т.е.
Его корни:
Для
уравнения
имеем:
поэтому
Для
уравнения
имеем:
поэтому
Таким
образом,
Решить систему: (а)
(б)
Решение.
Запишем систему в матричном виде:
Характеристическое уравнение однородной
системы имеет вид
т.е.
Его корни:
Составим систему алгебраических
уравнений для нахождения собственных
векторов. Для
имеем систему
откуда получаем собственный вектор
Для
имеем систему
откуда
Значит,
Перейдём к решению неоднородной системы. Её разобьём на две системы.
Для
системы
имеем:
поэтому
Продифференцируем эту вектор-функцию:
Подставим в систему
Упростим:
Приравнивая коэффициенты многочленов
в правой и левой частях равенства,
получим:
Решением
этой системы служит, например, следующий
набор чисел:
Следовательно,
Для
системы
имеем:
поэтому
Продифференцируем:
Подставим в систему
Отсюда следует, что
Для коэффициентов получается система линейных алгебраических уравнений:
Решение
системы:
Следовательно,
Складывая частные решения
с общим решением однородной системы,
получим ответ:
(б)
Вначале решим однородную систему
Характеристическое уравнение:
Его корни:
Собственные векторы:
для
для
Общее решение однородной системы:
Перейдём к решению неоднородной системы.
Имеем:
Поэтому частное решение неоднородной
системы следует искать в виде
Подставим в неоднородную систему:
Отсюда получаем систему линейных
алгебраических уравнений:
Её решение:
Значит,
Таким
образом, общее решение системы имеет
вид
Решить интегральное уравнение
Решение.
Продифференцируем уравнение
Продифференцируем ещё раз:
Решение
однородного уравнения
имеет вид
Частное решение однородного уравнения
ищем в виде
После подстановки в уравнение
находим коэффициент
Оказывается, что
Следовательно, общее решение уравнения
имеет вид
Продифференцируем это равенство:
Из
равенства
получаем:
Подставим в равенство
Отсюда
Из уравнения
при
получаем:
Подставим
в равенство
Следовательно,
Подставив найденные значения
в равенство
получим окончательный ответ: