Решение типовых примеров
Задача.Найти форму зеркала, собирающего параллельные лучи в одну точку, обладающую указанным свойством.
За
ось ОХвыберем прямую, параллельную
лучам, а за начало координат ‑ точку,
в которой пересекаются все лучи после
отражения. Если LM
(рис. 1) ‑ луч, падающий на кривую
и попадающий после отражения в точкуО, то (по закону оптики угол падения
равен углу отражения) углы
и
,
которые образуют лучиLMиМОс
касательнойТМ к кривой в точкеМ,должны быть равны. Вследствие этого
треугольникОТМравнобедренный, а
потому ТО=ОМ.
Е
сли
‑ координаты точкиМ,то
.
ОтрезокОТ,представляющий абсциссу
точкиТ, в которой касательная
пересекает осьОx,
находим из уравнения касательной:
.Возьмем 
.
Рис.1
.
Следовательно,
Подставляя в (*), получаем дифференциальное уравнение задачи:
.
Написав его в симметрической форме:
•(а)
видим,
что оно является однородным. Применяем
подстановку
.
Тогда
.Подставляя в (а), получаем:
Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
(б)
Далее
разрешаем (б) относительно иследующим
приемом:
;
умножая числитель и знаменатель дроби
на сопряженное со знаменателем выражение,
получаем:
.
(в)
Складывая
(б) и (в), находим;
.
Обозначая
,получаем окончательно:
.
Решением служит парабола, ось симметрии которой ‑ ось Ox, a фокус лежит в начале координат. Таким образом, ось искомой параболы параллельна пучку лучей, а фокус параболы лежит в оптическом фокусе.
Вращая такую параболу вокруг оси ОХ,находим искомую зеркальную поверхность ‑ параболоид вращения.
Очевидно, что если источник света поместить в начале координат (фокусе), то лучи после отражения пойдут параллельным пучком. В силу этого зеркалу прожектора придается форма параболоида вращения.
Пример 1. Решить
уравнение
.
Решение:
Проверим однородность уравнения:
Сделаем замену:
.
Подставим
в исходное уравнение:
(получим уравнение с разделяющимися
переменными)
.
Ответ:
Пример 2.
.
Решение:
.
Ответ:
.
Пример 3.
.
Решение:
,
,
Ответ:
.
Пример 4.Решить
уравнение
Решение:
Ответ:
.
Пример 5.Решить
уравнение
.
Решение:
C
R\{0}, 1+2u-u2=0
x2(1+2u-u2)=C,
CR
.
Ответ:
.
246.
Решение:
x=0,
(C
R\{0}),
С
R\{0}.
Ответ:
С R\0,
x=0.
247.
Решение:
х=0, у=их,
СR\{0},
CR\{0}
,
CR\{0},
x=0
C= 0
C
R.
Ответ:
,С R.
248.
Решение:
(
x=0)
.
Ответ:
.
Пример
9. Решить уравнение
Решение:
,
,
Ответ:
.
Пример
10. Решить уравнение
.
Решение:
Ответ:
Пример 11.
Решение:
Ответ:
Пример 12.Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Пример 13.Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Пример 14.
Решение:
Ответ:
Пример 15.
Решение:
Ответ.
Задачи для самостоятельного решения
1.
Ответ:
2.
Ответ:
3.
Ответ:
4.
Ответ:
5.
Ответ:
6.
Ответ:
7.
Ответ:
8.
Ответ:
9.
Ответ:
10.
Ответ:
11.
Ответ:
12.
Ответ:
13.
Ответ:
.
14.
Ответ:
15.
Ответ:
16.
Ответ:
17.
Ответ:
18.
Ответ:
19.
Ответ:
20.
Ответ:
21.
Ответ:
22.
Ответ:
23.
Ответ:
24.
Ответ:
25.
Ответ:
Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным задачи с решениями
1. (х+у
+2)dx+(2x+2y-1)dy=0
Ответ:
СR,
x+y+1=0.
Решение:
a1=1,
b1=1,
a2=2,
b2=2;
=
a1b2
- a2b1=
0.
Так
как определитель
=0,
то делаем заменуz=x+y,
- (уравнения с разделяющимися переменными)
Возвратимся к исходным переменным:
2.
Решение:
Ответ:
3.
Решение:
Следовательно,
делаем замену x=u+x0
, y=V+y0
, где
определяются из системы
.
(однородное
уравнение).
, C
,
t2-1
= 0
,
C
,
,
Ответ:
4.
.
Решение:
,a1 =
1 , b1
= 2 ,
Замена:
.
Проверка:
,
,
;
.
Ответ:
5.
.
Решение:
,
Замена:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Проверка:
,
,
Ответ:
6.
..
Решение:
,
Замена:
;
,
,
,
,
Ответ:
7.
.
Решение:
Замена:
x + y = z
,
,
,
Ответ:
8.
.
Решение:
Замена:
,
,
,
Ответ:
Проверка:
,