- •Глава 2.Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах
- •§1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Решение типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§2. Однородные уравнения
- •Решение типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным задачи с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
Решение типовых примеров
Пример 1. Решить уравнение
Решение:Перепишем исходное уравнение в виде
Разделив обе части последнего уравнения на , получим:
или .
Случаю отвечают два дополнительных решения. Отметим, что уравнение можно упростить, взяв синус от обеих его частей:
Ответ:,.
Пример 2.
Решение: (Разделили данное уравнение на). Тогда
.
Дополнительные решения , определяемые из условия, получаются из общего интеграла при.
Ответ: .
Пример 3. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию.
Решение:
(подставили в общий интеграл начальные условия ), .
Ответ:.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение:(tgx tgy 0),
, .
Ответ:
Пример 5. Решить уравнение .
Решение:
, .
Так как ‑ решения, то.
Ответ: .
Пример 6. Решить уравнение
Решение:где;
или
а так как ‑ решение, то
Ответ:.
Пример 7. Решить уравнение.
Решение:
. Но – решение, поэтому
Ответ:.
Пример 8. Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Пример 9. Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Пример 10. Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Пример 11. 213.
Решение:
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения:
1. ,прих=0Ответ:.
2. Ответ:
3. (1+ х2)dy+ydx= 0, y=1, при х=1. Ответ:
4. Ответ: (kZ), х=0
5. у=0 при х=1. Ответ:2е-у(у+1)=х2+1.
6. при х=1. Ответ:
7. . Ответ:
8. у+cos(x+2y)=cos(x-2y), y= при х=0.Ответ:
9. Ответ:.
10. при . Ответ:.
11. при. Ответ:
12. Ответ:.
13. Ответ:
14. Ответ: x
15. Ответ:
16. Ответ:
17. Ответ:y = a.
18. Ответ:
19.
Ответ:
20.
Ответ: .
21. Ответ:
22.
Ответ:
23.
Ответ:
24. 5ex tgydx+(1-ex)sec2ydy=0 Ответ: y=
25. Ответ:
§2. Однородные уравнения
К уравнениям с разделяющимися переменными после надлежащей подстановки приводятся однородные уравнения. Под однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка мы понимаем уравнение , когда в нем функцияпредставляет собой однородную функцию переменных и нулевой степени однородности и, следовательно, зависит от их отношения.
Функция называетсяоднородной степени k,если удовлетворяет тождеству
при любом .
Полагая , получаем: или . Оба переменных равноправны; поэтому также.
Таким образом, рассматриваемые уравнения будут вида:
. (1)
Подстановкой мы добиваемся разделения переменных. Так как, то; подставляя в уравнение (1), получаем:
,
или
(1.1)
предполагая, что и , разделяем переменные и интегрируем:
,
Обозначая через, получаем общий интеграл уравнения (1) в виде:
. (1.2)
Так как подстановка привела нас к уравнению с разделяющимися переменными, то, опираясь на теорему об этих уравнениях, можем утверждать, что если в некотором интервале ‑ непрерывна [а для этого достаточно непрерывности] и не обращается в нуль, то в области, такой, чтоа<и<b, , уравнение (1.1) имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах, и через каждую точку области Gпроходит единственная интегральная кривая. Это же справедливо и для данного уравнения (10), из которого уравнение (1.1) получено подстановкой!. При этом область(, илиах<у<bх, ), представляет внутреннюю часть двух вертикальных углов, ограниченных прямымиу=ах иу=bх,причем берутся те два угла, которые не содержат оси Oy,ибо.
Таким образом, является справедливой следующая теорема.
Теорема.Однородное дифференциальное уравнение при условии, чтонепрерывна ив интервале, имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах. При этом через каждую точку области , лежащей внутри вертикальных углов, ограниченных прямыми у=ах и у=bх и. не содержащей прямой , проходит единственная интегральная кривая.
В случае же, если найдутся такие значения и,при которых,каждому такому,будет отвечать решение, или,не вытекающее из общего интеграла.
Следует отметить, что в том случае, когда , дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными; для этого уравнения; как и вообще для уравнения (1) начало координатявляется особой точкой.
Уравнение в симметрическом виде
(2)
является однородным, когда ‑ однородные функции одной и той же степени однородности:
, .
В этом случае подстановка ,приводит к разделению переменных.
Интегрируемыми в квадратурах будут приводящиеся к однородным (или непосредственно к уравнениям с разделяющимися переменными) уравнения вида:
. (12)
Действительно, если определитель , то мы сумеем найти такиеи, что подстановкаипревратит это уравнение в однородное. Для этого нужно выбратьитак, чтобы
а это возможно, если . Выполняя подстановку, получим:
.
Это уравнение однородно, ибо .
В случае, если определитель ,элементы его строк пропорциональны:.Тогда, применяя подстановку , получаем: .Таким образом, приходим к уравнению с разделяющимися переменными;
.