2.2.1. Свойства коэффициента корреляции

1. Коэффициент корреляции независимых или некоррелированных величин равен нулю.

2. Коэффициент корреляции не меняется от прибавления к Х или У каких–либо постоянных (неслучайных) слагаемых, от умножения их на положительные числа.

3. Если одну из случайных величин, не меняя другой, умножить на , то наумножится и коэффициент корреляции.

4. Численно коэффициент корреляции заключен в пределах    1. Если коэффициент корреляции отличен от нуля, то он своей величиной характеризует не только наличие, но и силу стохастической связи между Х и У. Чем больше абсолютная величина , тем сильней корреляция между Х и У. Максимальная корреляция соответствует ||=1. Это возможно, когда между случайными величинами существует строгая функциональная связь.

5. Если  > 0, то величины Х и У с точностью до случайных погрешностей одновременно возрастают или убывают, если же  < 0, то с возрастанием одной величины другая убывает.

Но это справедливо только для линейной зависимости У от Х. Т.е. зависимость между Х и У может быть строго функциональной (например, квадратичной) без следа случайности, а коэффициент корреляции все еще будет меньше 1. Таким образом, коэффициент корреляции есть показатель того, насколько связь между случайными величинами близка к строгой линейной зависимости. Он одинаково отмечает и слишком большую долю случайности, и слишком большую криволинейность этой связи.

Если заранее, из общих соображений, можно предсказать линейную зависимость, то  является достаточным показателем тесноты связи между Х и У.

Для случайных величин (большинство именно таких), подчиняющихся нормальному закону, равенство  = 0 означает одновременно и отсутствие всякой зависимости.

2.2.2. Определение коэффициента корреляции по данным наблюдений

Допустим, что проведено n испытаний и при каждом отмечались значения двух случайных величин. В результате получается n пар выборочных значений (х₁, у₁), (х₂, у₂),…, (х_n, у_n). Для наглядности эти пары значений можно рассматривать как координаты точек на плоскости. Образовавшаяся совокупность точек сразу же дает представление о силе корреляции, где

а  сильная корреляция; в  слабая корреляция; с  отсутствие корреляции

Выборочный коэффициент корреляции r вычисляется по той же формуле, что и генеральный коэффициент , только здесь берутся выборочные математические ожидания (средние) и дисперсии. Если через иобозначить средние значения длях_i и y_i:

,

то выборочный корреляционный момент равен

,

откуда

,

где через иобозначены выборочные дисперсии

Удобнее при вычислениях пользоваться следующими выражениями:

,

,

.

При достаточно большом объеме выборки n выборочный коэффициент корреляции r приближенно равен генеральному коэффициенту . Однако оценить возникающую при этом погрешность очень трудно. Это и не обязательно, так как точное значение  в расчетах почти не используется и нужно нам лишь как показатель силы связи.

В связи со случайностью выборки выборочный коэффициент корреляции r может быть отличен от нуля, даже если между наблюдаемыми величинами нет корреляции. Следовательно, для проверки гипотезы об отсутствии корреляции необходимо проверять, значительно ли r отличается от нуля.