4.3.1. Свойства корреляционной функции

Для простоты предположим, что m_ох = 0.

1. Начальное значение корреляционной функции R() равно среднему значению квадрата случайной функции и поэтому существенно положительно, т.е.

.

2. Корреляционная функция есть четная функция , т.е.

.

Действительно,

.

3. Значение R() при любом  не может превышать ее начального значения R(0), т.е.

.

4. Корреляционная функция R() для достаточно больших  стремится к нулю, т.е.

5. Если х(t) представляет собой, например, стационарный случайный процесс с наложенной на него постоянной составляющей а_о, то R() будет иметь вид, изображенный на рисунке:

При этом ее начальная ордината R(0) равна среднему значению квадрата сигнала х(t), а ее конечная ордината R() – значению квадрата постоянной составляющей сигнала х(t), т.е. величине .

6. Если х(t) представляет собой стационарный случайный процесс с наложенной на него периодической составляющей, то R() также будет содержать периодическую составляющую с тем же периодом и, следовательно, будет иметь вид:

7. «Белый шум». Случайный процесс х(t), который характеризуется тем, что в нем отсутствует какая–либо взаимная связь между предыдущим и последующим значениями х(t), называется абсолютно случайным процессом или «белым шумом». Очевидно, что в этом случае корреляционная функция равна нулю при всех значениях , кроме  = 0, и ее можно представить в виде –функции или практически в виде импульса достаточно большой амплитуды, но малой ширины, площадь которого равна единице.

Взаимная корреляционная функция R_xy() не является четной, в отличие от R_х(), но для нее справедливо равенство: R_xy()=R_yх(). Кроме того:.

4.4. Спектральная плотность

Спектральная плотность случайного процесса х(t) определяется как преобразование Фурье от корреляционной функции R_x():

.

Это так называемая автоспектральная плотность. В свою очередь в соответствии с формулой обратного преобразования Фурье:

.

S_x() играет большую роль при исследовании преобразования случайных сигналов линейными системами.

Автоспектральная плотность S_x() – действительная и четная функция.

Так, используя формулу Эйлера, можно записать:

.

Но R_x() – четная функция, т.е. R_x() = R_x(), а, поэтому во втором слагаемом подынтегральное выражение представляет собой нечетную функцию переменного.

Поэтому .

И тогда , и следовательно

.

Аналогично

.

Эти соотношения позволяют определить S_x() по заданной аналитически или в виде графика R_x(), или наоборот. В любом случае для определения функции S() по R() и наоборот можно использовать таблицы преобразования Фурье.

4.4.1. Свойства спектральной плотности

1. Если R() – монотонно убывающая функция , то S() – также монотонно убывающая функция .

2. Чем уже функция R(), тем более пологой и широкой является функция S().

3. Если R() стремится к нулю в течение очень короткого времени , то S() сохраняет постоянное значение до частоты порядка .

4. Спектральная плотность "белого шума" равна интегралу от –функции, т.е. равна единице. Таким образом, энергия "белого шума" распределена по спектру равномерно и его суммарная энергия равна бесконечности, что физически нереализуемо.

5. Если случайная функция содержит постоянную составляющую, то в кривой спектральной плотности в точке  = 0 имеется –функция (практически – острый импульс).

6. Если случайная функция имеет периодическую составляющую частоты _о, то в составе кривой S() имеется две –функции в точках _о.