Свойства вероятности

1. Вероятность любого события А подчинена условиям

0  Р(А)  1, так как 0  m  n.

2. Вероятность достоверного события Е:

Р(Е) = 1, так как m = n.

3. Вероятность невозможного события U:

Р(U) = 0, так как m = 0.

2. Сложение и умножение вероятностей

Пусть А и В – два несовместных события. Тогда вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей, т.е. Р(А или В)=Р(А)+Р(В) – это так называемая теорема сложения.

Следствие теоремы: если события А₁, А₂, …, А_n несовместны и единственно возможны, то

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1.

То есть они образуют полную группу событий. В частности Р(А)+Р()=1.

Условная вероятность. Умножение вероятностей

Пример: На складе – 400 электрических лампочек, изготовленных на двух заводах (75 % – на первом, 25 % – на втором). Пусть на 1 заводе – 83 % соответствует стандарту, на 2 заводе – 63 %. Определим вероятность того, что случайно взятая со склада лампочка соответствует требованиям стандарта.

Решение. Всего на 1–м заводе изготавливают стандартных лампочек. На втором заводе –. Т.е. всего 249+63=312 стандартных лампочек. Так как выбор любой лампочки следует считать равновозможным, то имеем 312 благоприятствующих случаев из 400, и поэтому

,

где событие В состоит в том, что выбранная на любом из заводов лампочка стандартна.

Но если известно, что выбранная лампочка изготовлена на первом заводе (событие А₁), то вероятность того, что она стандартна, будет не 0,78, а 0,83.

Такого рода вероятность, т.е. вероятность события В при условии, что имеет место событие А, называют условной вероятностью события В при условии наступления события А и обозначается Р_А(В).

Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого в предположении, что первое имело место

Р(А и В) = Р(А)Р_А(В).

Это так называемая теорема умножения.

Совмещение событий А и В – это наступление каждого из них, т.е. наступление как события А, так и события В.

Так как события А и В равноправны, то поменяв их местами:

Р(А и В) = Р(А)Р_В(А) или

Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А).

Пример. В продукции предприятия признаются годными (событие А) 96 % изделий. К первому сорту (событие В) оказываются принадлежащими 75 изделий из каждой сотни годных. Определить вероятность того, что произвольно взятое изделие будет годным и принадлежит к первому сорту.

Искомая вероятность есть вероятность совмещения событий А и В. По условию: Р(А) = 0,96, Р_А(В) = 0,75, тогда Р(А и В) = .

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется в результате того, наступило или не наступило другое.

Пример: повторное бросание монеты (Р = независимо от того, выпал или не выпал герб в первом случае). Условие независимости событийА и В:

или

.

Для независимых событий теорема умножения формулируется следующим образом. Если события А и В независимы, то вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий Р(А и В) = Р(А)Р(В).

1.2.3. Полная вероятность

Пусть события Н₁, Н₂,…, Н_n образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них (Н_i) событие А может наступить с некоторой условной вероятностью (А). Какова будет при этом вероятность наступления события А?

В соответствии с теорией умножения найдем, что вероятность наступления А при условии Н₁, Н₂,…, Н_n:

Р(Н₁ и А) = Р(Н₁)(А)

…………………………..

Р(Н_n и А) = Р(Н_n) (А).

По теореме сложения (события Н₁, Н₂,… несовместны):

или

–это так называемая формула полной вероятности.

Пример. При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки, причем число крупных осколков составит 0,1 их общего числа; средних – 0,3; мелких – 0,6.

При попадании в танк крупный осколок прибивает броню с вероятностью 0,9; средний – 0,3; мелкий – 0,1.

Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?

Р(Н1) = 0,1 Р(Н2) = 0,3 Р(Н3) = 0,6

= 0,9 = 0,3 = 0,1

.