1.3.1.2. Функция распределения для дискретной случайной

величины

Функция распределения для дискретной случайной величины

,

где суммирование распространяется на значения х_i, удовлетворяющие неравенству х_i < x. В промежутке между двумя последовательными значениями Х функция F(x) постоянна. При переходе же аргумента х через возможное значение случайной величины х_i функция F(x) скачком возрастает на величину р_i = P(X = x_i), так что х_i будет точкой разрыва первого рода функции F(x), поэтому функция распределения для дискретной случайной величины будет ступенчатой функцией.

Т.о., для конечно–значной величины функция распределения F(x) равна сумме вероятностей всех допустимых значений, меньших, чем х.

Пример. Смешаны шарики (100) различной крупности, среди которых 20 шариков диаметром 1 см; 40 шариков – 2 см; 30 шариков – 3 см и 10 шариков – 4 см.

Определить вероятности извлечения шарика определенной крупности и построить F(x), если х – крупность шарика.

1.3.1.3. Функция распределения непрерывной случайной

величины

Пусть Х – непрерывная случайная величина с известной функцией распределения F(х).

Найдем вероятность того, что Х заключена в пределах  < X < . Пользуясь теоремой сложения вероятностей:

Р(Х<)=P(X<)+P(<X<),

откуда

P(<X<)=Р(Х<)).

Исходя из определения функции распределения:

.

Определим вероятность Р(Х = ):

.

Если функция F(х) непрерывна, то последний предел равен нулю: Р(Х = ) = 0.

Т.е., если функция распределения случайной величины непрерывна, то вероятность того, что случайная величина примет заранее заданное значение, равна нулю, но это событие не является невозможным.

1.3.1.4. Плотность вероятности случайной величины

Предположим, что Х – непрерывная случайная величина, ее функция распределения непрерывна и дифференцируема.

Производная функции распределения (х)=F'(х) называется дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности случайной величины Х.

Ее вероятностный смысл:

,

где числитель ,

таким образом

, (*)

т.е. плотность вероятности случайной величины Х в точке х равна пределу отношения вероятности попадания величины Х в интервал (х, х+х) к х, когда х стремится к нулю.

Зная (х), можно вычислить вероятность  < X < 

. (**)

Геометрическое истолкование этой формулы

Из (*) вытекает, что с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка по сравнению с х справедливо равенство:

.

Это произведение геометрически изображается площадью прямоугольника I.

Вероятность того, что случайная величина примет значения внутри участка (, ), выражается площадью криволинейной трапеции А – в этом состоит геометрический смысл выражения (**).

Известно, что (х)  0, так как F(x) – монотонно неубывающая функция, а из формулы следует (**) .

Легко установить выражение функции распределения через плотность вероятности. F(x)  есть первообразная от (х), причем такая, которая обращается в нуль при . Поэтому

.

Физическая интерпретация:

F(x) – Представим единицу массы, распределенную вдоль прямой так, чтобы количество массы, сосредоточенное во всех точках прямой, для которых Х  х, т.е. находится слева от точки х, равнялось F(x).

Тогда (х) будет представлять собой плотность единичной массы в рассматриваемой точке.

1.3.2. Числовые характеристики случайных величин  это такие характеристики, которые одновременно связаны с функциями распределения, но которые могут быть найдены даже тогда, когда F(x) или (x) неизвестны, и которыми удобно пользоваться при решении прикладных задач. К числу таких характеристик относятся средние значения и моменты случайных величин.

Средние значения случайных величин

Предположим, что Х – дискретная случайная величина, которая в результате эксперимента принимала значения x₁, x₂,…, x_n с вероятностями p₁, p₂,…, p_n, . Тогда средним значением или математическим ожиданием величины X называется сумма , т.е. средневзвешенное значение величины Х, где весами служат вероятностиp_i.

Пример. Определить среднее значение ошибки регулирования , если на основании большого числа опытов установлено, что вероятность ошибки р_i равна:

, %	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3
рi	0,2	0,2	0,3	0,15	0,15

Решение:

1. M[] = 0,10,2 + 0,150,2 + 0,20,3 + 0,250,15 + 0,30,15 =

= 0,19 %.

В том случае, если g(Х) является функцией X (причем вероятность того, что X = x_i равна p_i), то среднее значение функции определяется как

Предположим, что X – случайная величина с непрерывным распределением и характеризуется плотностью вероятности (x). Тогда вероятность того, что X заключена между x и x + х:

.

Величина X при этом приближенно принимает значение x. В пределе при x  0, можно предположить, что приращение x численно равно дифференциалу dx.

Произведя замену x = dх, получаем точную формулу для расчета среднего значения Х :

Аналогично для g(Х):

Как правило, недостаточно бывает знать только среднее значение (математическое ожидание) случайной величины. Для оценки меры случайности величины (для оценки разброса конкретных значений X относительно математического ожидания M[X]) вводится понятие дисперсии случайной величины. Дисперсия – среднее значение квадрата отклонения каждого конкретного значения X от математического ожидания. Чем больше дисперсия , тем больше случайности разброса величины от математического ожидания. Если случайная величина дискретная, то

Для непрерывной случайной величины дисперсию можно записать аналогично:

Дисперсия хорошо описывает разброс величины, но при этом есть один недостаток: размерностьне соответствует размерностиX. Чтобы избавиться от этого недостатка, часто в конкретных приложениях рассматривают не , а положительное значение, которое называетсясредним квадратическим отклонением.