5.2. Понятие передаточной функции

Метод преобразования Лапласа оказался мощным инструментом для решения линейных дифференциальных уравнений. Кроме того, с целью упрощения методов расчета и проектирования линейных систем автоматического регулирования было признано целесообразным уравнения динамики объектов управления и управляющих устройств записывать не через оригиналы функций, а в виде их изображений, получаемых с помощью прямого преобразования Лапласа, и в виде продукта этого преобразования – через так называемые передаточные функции.

Передаточная функция W(p) – это отношение изображений (по Лапласу) выходной величины САУ к входной при нулевых начальных условиях, т.е.

,

Предположим, что система описывается уравнением вида:

.

Получим преобразование Лапласа от левой и правой частей:

.

Преобразование Лапласа линейно и поэтому: 1) преобразование от суммы равно сумме преобразований от слагаемых; 2) постоянный коэффициент можно выносить за знак преобразования Лапласа.

Из 1–го свойства следует:

.

Из 2–го свойства следует:

. (*)

Предположим, что начальные условия нулевые, т.е. при t = 0,

.

В этом случае преобразование Лапласа от производной имеет вид:

,

Тогда уравнение (*) можно переписать следующим образом:

Если вынести за скобки L[x] и L[f], то получим

L[x](a_nрⁿ + …a₁р + a_o) = L[f](b_mр^m + …b₁р + b_o).

Откуда

или

Многочлен числителя К(р) = b_mp^m + … + b₁p + b_o называется оператором воздействия. Многочлен знаменателя D(p) = a_npⁿ + … + a₁p + a_o называется собственным (характеристическим) оператором системы. Его вид не зависит от внешних воздействий, а выражение D(p) = 0 называется характеристическим уравнением системы.

5.3. Временные и частотные характеристики сау

Динамические свойства (поведение в переходном режиме) отдельных элементов САУ или системы в целом могут быть описаны дифференциальными уравнениями или передаточными функциями, соответствующими этим уравнениям.

Очень часто при решении различных задач анализа и синтеза удобнее использовать графическое представление этих свойств в виде характеристик различного типа. Чаще всего применяют две группы таких характеристик – временные и частотные характеристики. Характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по дифференциальному уравнению или передаточной функции системы. С помощью этих характеристик можно определить реакцию системы на возмущение произвольного типа.

5.3.1. Временные характеристики сау

Существуют различные виды временных характеристик. Они показывают поведение системы во времени при нанесении внешнего воздействия определенного вида.

В качестве временной характеристики чаще всего рассматривают реакцию САУ на единичное ступенчатое изменение входного сигнала f(t):

Эту временную характеристику называют переходной характеристикой h(t), причем ее можно получать экспериментально или расчетным путем.

При экспериментальном определении h(t) предполагается, что САУ оборудована специальным устройством, позволяющим произвольным образом изменить f(t), и устройством, предназначенным для автоматической записи выходной величины системы x(t). Перед проведением эксперимента стабилизируют все переменные САУ и затем в определенный момент времени ступенчато изменяют на одну условную единицу входной сигнал f(t). В дальнейшем f(t) не изменяется. Этот момент времени считают нулевым и с этого момента времени с помощью самописца регистрируют кривую изменения выходной величины. Полученная кривая будет характеристикой h(t).

При расчетном способе определения h(t) решают дифференциальное уравнение САУ для f(t) = 1(t). В определенных случаях для получения h(t) необходимо использовать так называемую формулу Хевисайда.

Предполагается, что передаточная функция САУ имеет вид:

или

и тогда уравнение Хевисайда принимает вид:

где К(0) = [К(р)]_р=о; D(0) = [D(p)]_р=о,

_{, ,}

р₁, р₂, …, р_i, …, р_n – корни характеристического уравнения D(p) = 0.

Формула в таком виде применима, если корни характеристического уравнения действительные и разные. В противном случае используется соответствующий вариант формулы.