2.2.3. Частная линейная корреляция

Одним из методов исследования линейной связи между тремя ( или несколькими) признаками, измеряемыми единовременно у некоторых элементов, является линейная корреляция, применяемая в случае равнозначности признаков, когда неудобно делить их на независимые и зависимые случайные переменные (как это было сказано раньше). При этом различают частную линейную и множественную линейную корреляции.

Обозначим эти признаки Х, У, Z.

Например: исследуют свойства некоторого сорта стали: Х – предел текучести, У – предел прочности, Z – предел упругости.

Рассматривая каждый раз только по два из трех признаков, можно в качестве меры линейной зависимости вычислить эмпирические простые коэффициенты корреляции r_ху, r_xz, r_уz (аналогично расчетам, соответствующим парной корреляции). При рассмотрении более двух признаков, однако, для получения безупречного статистического решения простых коэффициентов корреляции оказывается уже недостаточно. Так, r_xz выражает зависимость между Х и Z. Но она может возникнуть и по той причине, что оба признака в большей или меньшей мере подвержены воздействию третьего признака – У.

Чтобы исключить влияние третьей случайной величины на две другие, вводят эмпирические частные коэффициенты корреляции, обозначенные через .

Буквы перед точкой указывают, между какими признаками изучается зависимость, а буква после точки – влияние какого признака исключается. Разумеется .

Принятые обозначения легко распространить на частные коэффициенты корреляции для числа признаков больше трех и выражать линейную связь только между двумя признаками, исключая каждый раз воздействие остальных.

Частные коэффициенты корреляции рассчитываются по простым коэффициентам корреляции согласно формулам

,

,

.

Второе и третье уравнения выводятся из первого путем циклической перестановки букв х, у, z. Подобно простым коэффициентам корреляции частные коэффициенты могут принимать значения, заключенные между –1 и +1.

Частные коэффициенты корреляции в большей или меньшей степени отклоняются от простых коэффициентов корреляции в зависимости от того, какое воздействие третий, исключаемый, признак оказывает на два оставшихся.

2.2.4. Множественная линейная корреляция

Для ответа на вопрос, зависит ли один из признаков одновременно от двух других (или у от х₁ и х₂ при взаимном влиянии х₁ и х₂), вводятся эмпирические множественные коэффициенты корреляции . Они являются мерой линейной связи между одним из признаков (буква индекса перед точкой) и совокупностью других признаков. Эти коэффициенты заключены в переделах –1 и +1.

Для практических расчетов обычно применяют следующую формулу:

.

Аналогично для других зависимостей.

2.3. Регрессия

Корреляционный анализ служит установлению значимости (неслучайности) изменения наблюдаемой случайной величины в процессе испытаний. Следующей, еще более высокой ступенью должно явиться выяснение точных количественных характеристик изменения случайной величины. Подобно тому, как совокупность значений случайной величины описывалась набором неслучайных параметров, так и стохастическую, т.е. содержащую элемент случайности, связь нужно научиться выражать через строгие функциональные (неслучайные) соотношения.

Т.е. требуется установить зависимость некоторой случайной величины У от параметра Х, т.е. у от х, которая называется регрессией. Имеется выборка (х₁, у₁), (х₂, у₂),…, (х_n, y_n) и нужно найти уравнение приближенной регрессии, которое запишем как у = f(x).

В качестве принципа приближенности обычно используют принцип наименьших квадратов, который формулируется так:

Пусть задан некоторый класс функций f(x), накладывающих на выборку одинаковое число связей. Тогда наилучшее уравнение приближенной регрессии дает та функция из рассматриваемого класса, для которой сумма квадратов

имеет наименьшее значение.

Принцип наименьших квадратов позволяет полностью вычислить уравнение приближенной регрессии заданного типа (с неопределенными коэффициентами). Например уравнение регрессии имеет вид:

Составляется сумма , где функцияf(x) записана со всеми неопределенными коэффициентами , , … Величину S можно теперь рассматривать как функцию от этих коэффициентов. Задача состоит в том, чтобы найти набор коэффициентов , , …, минимизирующий величину S. Известно, что необходимым условием минимума функции многих переменных S(, , …) является выполнение равенств вида:

, …

Эти равенства можно рассматривать как уравнения относительно , , …; которые в математической статистике называются нормальными уравнениями.

Доказано, что так как величина S  0 при любых , , …, то у нее обязательно должен существовать хотя бы один минимум и, если система нормальных уравнений имеет единственное решение, то оно и является минимальным для величин S, и никаких дополнительных исследований проводить не нужно.

Используя правила дифференцирования, нормальным уравнениям можно придать следующий вид:

или, после небольших изменений

Пример: .

Тогда . Поэтому нормальные уравнения имеют вид

.

Относительно неизвестных коэффициентов ,  и  получилась линейная система уравнений третьего порядка; ее нетрудно решить, например, с помощью определителей.

После того, как уравнение найдено, его надо подвергнуть статистическому анализу:

1. Оценить ошибку от замены истинной регрессии приближенной. Проверить значимость всех слагаемых уравнения в сравнении со случайной ошибкой наблюдений.

2. Оценить силу связи (провести корреляционный анализ).