4.2. Стационарные случайные процессы

Общая теория случайных функций, требующая задания многомерных функций распределения вероятности, обычно оказывается очень сложной и громоздкой для практических применений.

Но, если случайные функции имеют нормальное распределение, то задание их первых двух моментов достаточно для определения всех последующих моментов, вследствие чего корреляционная теория (2–ой центральный момент – корреляционный момент) может рассматриваться как общая теория случайных функций с нормальным распределением.

Но и корреляционная теория достаточно сложна, поэтому обычно рассматривают те или иные виды случайных процессов, удовлетворяющих определенным допущениям.

Особое место занимают стационарные случайные процессы. Для них вид функции распределения вероятности не зависит от смещения начала отсчета вдоль оси времени. В случае стационарных случайных процессов определение функции распределения упрощается в том отношении, что она может быть определена в течение достаточно долгого промежутка времени из результатов наблюдения над одной единственной системой, а не над многими. Действительно, так как в этом случае функция распределения не зависит от начала отсчета времени, то можно предположить, что экспериментальную запись кривой х(t), полученную из наблюдения над одной системой в течение достаточно долгого промежутка времени, можно разбить на ряд отрезков длиной Т (где Т велико по сравнению со всеми «периодами», которые имеются в исследуемом процессе) и считать, что функциями, входящими в совокупность, являются функции х(t), представляющие собой части всей кривой х(t) на протяжении каждого из отрезков Т.

В основе этого предположения лежит так называемая эргодическая гипотеза, согласно которой большое число наблюдений над одной – единственной системой, движение которой представляет собой стационарный случайный процесс, в моменты времени, выбранные произвольным образом, имеет те же статистические свойства, то же число наблюдений над произвольно выбранными подобными ей системами в один и тот же момент времени.

Различают «среднее значение по совокупности (множеству)», т.е. средние значения, определенные на основании наблюдения над многими подобными системами в один и тот же момент времени, и «среднее по времени», т.е. среднее значение, определенное на основании наблюдения над одной из этих систем для достаточно большого числа последующих моментов времени.

Для стационарных процессов это одно и то же. Так, например, для функции х(t) «среднее по совокупности» :

–зависит от момента времени t, а среднее по времени для интервала времени 2Т:

–не зависит от t и для стационарного процесса =.

Аналогичное равенство имеет место и для моментов более высокого порядка.

4.3. Корреляционная функция

Важной вероятностной характеристикой случайного процесса является корреляционная функция, которая для стационарного случайного процесса х(t) определится как:

где =– математическое ожидание («среднее по времени» на интервалеТ).

Для «центрированного» случайного процесса = 0 и

.

Корреляционную функцию случайного процесса х(t) называют еще автокорреляционной функцией R_x(), так как если приходится иметь дело с двумя стационарными случайными процессами х(t) и у(t), то кроме их математических ожиданий ,и автокорреляционных функцийR_x() и R_y(), обычно вводится в рассмотрение корреляционная функция связи, или взаимная корреляционная функция, которая для стационарного случайного процесса –

.

Если ==0, то

.

Она имеет непосредственную связь с понятием коэффициента корреляции. Так, если коэффициент корреляции характеризует меру зависимости между двумя системами чисел х_i и y_i (случайные величины), то взаимная корреляционная функция характеризует зависимость значений одной и той же или различных случайных функций в различные моменты времени.