1.3.2.1. Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой величине M[C] = C.

2. Неслучайный множитель С можно выносить за знак математического ожидания M[CX] = CM[X].

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин.

.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин (условие независимости случайных величин).

.

1.3.2.2. Свойства дисперсии

1. Дисперсия неслучайной величины С равна нулю: D[C]=0.

2. Дисперсия произведения неслучайного множителя С на случайную величину равна произведению С² на дисперсию случайной величины.

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин X₁ и X₂ равна сумме дисперсий слагаемых

1.3.3. Моменты случайной величины

Пусть Х – непрерывная случайная величина. Если  – целое положительное число, а функция x^ интегрируема на интервале (–; +), то среднее значение

= 0, 1,…, n

называется начальным моментом порядка  случайной величины X.

Очевидно, что момент нулевого порядка

,

а начальный момент первого порядка

,

есть математическое ожидание самой случайной величины Х.

Момент второго порядка

есть математическое ожидание квадрата случайной величины Х.

Аналогично находят ₂, ₃ и т.д.

Если – центрированная случайная величина, то представляет интерес рассмотрение центральных моментов порядка, где  = 0, 1,…, n:

Есть связь между начальными и центральными моментами.

Так _о = _о

₂=₂

₃=₃и т.п.

1.4. Примеры законов распределения случайной величины

Рассмотрим примеры распределения случайной величины.

1.4.1. Равномерное распределение дискретной случайной

величины

При бросании игральной кости может выпасть 1,2,3,… или 6. Здесь величина Х принимает значения х_i = i с вероятностями соответственно (i = 1, 2, 3…, 6). Ввиду равенства всех вероятностей можно говорить о равномерном распределении случайной величины Х.

Рассчитаем для этой случайной величины математическое ожидание М[X] и дисперсию D[X]:

При этом .

1.4.2. Равномерное распределение непрерывной случайной

величины

Предположим, что случайная величина имеет равномерное и непрерывное распределение. Причем ее плотность вероятности для всех значений, кроме интервала (a, b), на котором она постоянна. Постоянное значение обозначим через A. Тогда можно записать

или . Поэтому плотность равномерного распределения задается формулой

.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси, а плотность вероятности (x) существует и непрерывна всюду, кроме дискретного множества точек. Для нахождения функции распределения F(x) воспользуемся формулой

.

При x  a . ТогдаF(x) = 0.

Для а < x < b получим

.

Наконец при х  b получим:

Таким образом интегральный закон равномерного распределения случайной величины задается формулой

и соответственно в виде графика:

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

.

;

;

; .

.