Тема 5. Понятие передаточной функции и частотных характеристик системы

5.1. Элементы операционного исчисления. Преобразование

Лапласа

Под операционным исчислением понимается совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными и непосредственно ведущими к цели средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений. Операционное исчисление нашло широкое применение в теории автоматического управления, где с его помощью производится анализ переходных и установившихся процессов в автоматических системах.

Понятие оператора является обобщением понятия функции. Функция – закон соответствия между двумя множествами чисел. Оператор – это закон соответствия между двумя множествами функций. Этот закон может быть задан, например, таблицей, где каждой функции f(t) из определенного класса соответствует какая–либо иная функция F(p). Закон соответствия может быть записан следующим образом: f(t)  F(p). (Стрелка означает «соответствует»).

В операционном исчислении рассматриваются операторы, заданные некоторой частной формулой преобразования. Так, пусть задана некоторая функция f(t) действительной переменной t, причем такая, что для нее существует преобразование Лапласа (L–преобразование)

.

Используя L–преобразование, можно каждой преобразуемой по Лапласу функции f(t) (в этом случае функция f(t) называется «оригиналом») поставить в соответствие функцию F(p) комплексной переменной р = с + j (при этом функция F(p) называется «изображением» функции f(t)).

Преобразование Лапласа обладает рядом замечательных свойств. Например, дифференцированию оригинала f(t) по переменной t соответствует операция умножения изображения F(p) на комплексную переменную р, а интегрированию оригинала f(t) соответствует операция деления F(p) на р. Таком образом, операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются в пространстве изображений оригинала более простыми операциями алгебры – соответственно умножением и делением изображения F(p) на р. Это позволяет дифференциальное уравнение, записанное относительно искомой функции f(t), заменить в пространстве изображений на алгебраическое уравнение относительно изображения F(p)=L[f(t)]. Решив это алгебраическое уравнение и найдя F(p), мы получим изображение решения исходного дифференциального уравнения. Для определения самого решения можно воспользоваться обратным преобразованием Лапласа (L^–1–преобразованием), устанавливающим связь между изображением F(p) и оригиналом f(t):

, t > 0

где с = Rep.

Функция f(t) может считаться оригиналом, если выполняются следующие условия:

1) Функция f(t) непрерывна для всех значений t  0. Непрерывность может быть нарушена лишь в отдельных точках, являющихся точками разрыва непрерывности первого рода, причем число этих точек должно быть конечным на любом интервале ограниченной длины.

2) Функция f(t) = 0 для значений t < 0.

3) Функция f(t) имеет ограниченный порядок возрастания, т.е. можно указать такие постоянные числа М > 0 и с_о  0, при которых выполняется неравенство (t > 0).