5.1.1. Основные свойства преобразования Лапласа

1. Линейность преобразования

а) постоянный коэффициент выносится за знак преобразования Лапласа

;

б) преобразование Лапласа суммы функций равно сумме преобразований Лапласа (принцип суперпозиции)

.

2. Преобразование Лапласа от функции, у которой переменная t умножена на постоянное число а определяется выражением

.

3. Дифференцирование оригинала

,

где – значения функции и ее производных приt=0 (учитывают начальные условия).

Если начальные условия нулевые, т.е.

,

то

.

4. Интегрирование оригинала

,

где

при t = 0;

при t=0.

Если начальные условия нулевые, то

.

5. Конечное значение функции

.

6. Начальное значение функции

.

7. Формула запаздывания

.

5.1.2. Примеры преобразования Лапласа для типовых функций

1. f(t) = C, где С = const

.

2.

;

и т.д.

Получены соответствующие таблицы изображений по Лапласу для определенных функций (оригиналов)

Фрагмент таблицы изображений по Лапласу простейших

функций

№ п/п	f(t)	F(p) = L[f(t)]		№ п/п	f(t)	F(p) = L[f(t)]
1.	1(t)			6.	cos t
2.	C			7.	Kt
3.				8.	Kt2
4.				9.	t cos t
5.	sin t			10.	K(t)

5.1.3. Решение линейных дифференциальных уравнений

с помощью преобразования Лапласа

Метод операционного исчисления заключается в том, что в общем случае решение исходной системы дифференциальных уравнений, которым подчиняются искомые оригиналы, заменяется решением соответствующей системы уравнений для изображений. В том случае, когда исходные уравнения для оригиналов являются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, соответствующие им уравнения оказываются алгебраическими. Из алгебраических уравнений изображение искомого оригинала находится путем элементарных алгебраических преобразований. При этом отпадают громоздкие вычисления, возникающие в классическом методе в связи с определением произвольных постоянных интегрирования в соответствии с заданными начальными условиями, так как в операторном методе начальные условия автоматически вводятся в изображение решения. Оригинал решения при известном его изображении обычно может быть легко найден путем использования обширных таблиц. С другой стороны, изучение свойств изображения искомого решения уже позволяет установить весьма общие и важные для практики свойства самой системы.

Примеры

1. Найти решение уравнения

,

с начальными условиями: при t = 0, x(0) = 0, .

Преобразуем каждый член этого уравнения по Лапласу. Положим L[x(t)] = X(p) и используем соответствующие свойства и формулы.

.

После преобразования по Лапласу исходное дифференциальное уравнение станет алгебраическим относительно изображения Х(р):

.

Найдем Х(р):

,

,

где корни знаменателя р₁ = 1 и р₂ = 2, поэтому Х(р) можно представить в виде суммы элементарных слагаемых:

.

Здесь K₁ = 1; K₂ = 1.

Для определения оригинала х(t), выполним обратное преобразование Лапласа.

(t  0).