Тема 3. Проверка статистических гипотез и построение доверительных областей для параметров

3.1. Доверительные интервалы и доверительные вероятности

Выборочные параметры могут служить приближенными оценками соответствующих генеральных параметров. Погрешность такой оценки, как об этом говорилось ранее, тем меньше, чем больше объем выборки. Как можно оценить эту погрешность более строго?

Все выборочные параметры (,S²) являются случайными величинами и их отклонения от генеральных параметров (погрешности) также будут случайными. Поэтому вопрос об оценке этих отклонений носит вероятностный характер и можно лишь указать вероятность той или иной погрешности, т.е. найти вероятность того, что некоторая случайная величина  (отклонение выборочного параметра  от исследуемого генерального) не превосходит по абсолютной величине некоторого заданного числа . Задача легко решается, если известны функции распределения F(x) или (х) величины .

Известно:

.

Но, к сожалению, обычно и F(x), и (х) неизвестны.

Задачу решают по другому. Находят с заданной вероятностью границы возможных значений изучаемого параметра. Эту заданную вероятность называют доверительной вероятностью. В зависимости от конкретных обстоятельств в качестве доверительной вероятности берут р = 0,95; 0,98; 0,99; реже р = 0,90 или р = 0,999.

Иногда вместо доверительной вероятности рассматривают связанную с ней величину – так называемый уровень значимости =1.

Соответствующие доверительной вероятности границы значений параметра называют доверительными границами, а образуемый ими интервал – доверительным интервалом.

Представляет интерес оценка генерального среднего и генеральной дисперсии с точки зрения определения их доверительных границ.

3.2. Оценка генерального среднего

Предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение. Для оценки генерального среднего желательно знать генеральную дисперсию ². Но ее нельзя найти из наблюдений и вместо нее обычно берут выборочную дисперсию S².

Вводят величину

,

где – выборочное среднее;S² – выборочная дисперсия; а – генеральное среднее; n – объем выборки.

Таким образом, величина t – это не что иное, как нормированное отклонение ота.

Функция распределения величины t называется t –распре­делением, или распределением Стьюдента. Она зависит только от числа f степеней свободы, по которым подсчитана дисперсия S². Если дисперсия S² и среднее подсчитывались по одним и тем же наблюдениям, тоf = n  1. Плотность (t) распределения Стьюдента имеет вид:

По форме графики напоминают плотность нормального распределения, но при t   они значительно медленнее сближаются с осью абсцисс.

Представляет интерес рассмотрение одной из числовых характеристик случайной величины, которую называют квантиль.

Квантилем х_р случайной величины Х с функцией распределения F(x) называют решение уравнения

,

где вероятность Р – заданная величина (см. кривую распределения).

Величины квантилей представлены в специальных таблицах для соответствующих значений вероятности Р.

Возвращаясь к распределению Стьюдента, обозначим t_p – квантиль t–распределения.

Если , то известно, что доверительные границы генерального среднего могут быть определены из двусторонних неравенств

или .

Преобразуем поэтапно двустороннее неравенство. Для этого:

1. Берем левую границу:

; ;

; откуда .

2) Рассматриваем правую границу:

; ;

; или, в итоге .

Окончательно получаем:

,

что можно представить в виде:

.

Таким образом, с вероятностью р – генеральное значение математического ожидания заключается в границах между и, где величинаt_р определяется по таблицам распределения Стьюдента для заданной доверительной вероятности р и определяемого числа степеней свободы f = n.

Распределение Стьюдента позволяет оценивать генеральное среднее (математическое ожидание), когда генеральная дисперсия неизвестна. При этом число наблюдений может быть очень малым, даже равным двум. Конечно, скудость информации сказывается на результатах – доверительные границы получаются довольно широкими. Поэтому везде, где это только возможно, нужно стараться увеличивать число степеней свободы у выборочной дисперсии.

Пример. Выборочное среднее найдено по трем наблюдениям, а выборочная дисперсия определена какS² = 0,25, при этом f = 3  1 = 2. В качестве доверительной вероятности возьмем р = 0,95, Величину t_p найдем из таблицы Стьюдента, где для f = 2 и р = 0,95 находим t_p = 4,30.

Тогда учитывая, что , доверительная оценка определится как:

.

После вычислений получаем окончательные значения доверительной оценки генерального среднего

.

В некоторых задачах требуется найти одностороннюю доверительную оценку генерального среднего, т.е. оценку только сверху или только снизу. При этом задача решается аналогично.