4. Базис на плоскости. Теорема о разложении любого вектора по трём базисным векторам.

Определение. Пусть – произвольный вектор,– произвольная система векторов. Если выполняется равенство

                   ,                       (1)

то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторовявляется базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением векторапо базису. Коэффициенты линейной комбинацииназываются в этом случае координатами вектораотносительно базиса.

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

   Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис. Возьмем произвольный вектор. Так как оба вектораиколлинеарные одной и той же прямой L, то. Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как, то найдется (существует) такое число, чтои тем самым мы получили разложение векторапо базисувекторного пространства.

   Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базисувекторного пространства:

и , где. Тогдаи используя закон дистрибутивности, получаем:

                      .

Так как , то из последнего равенства следует, что, ч.т.д.

2) Пусть теперь Р произвольная плоскость и – базис. Пустьпроизвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведем прямую, на которой лежит вектор, прямую, на которой лежит вектор. Через конец векторапроведем прямую параллельную векторуи  прямую параллельную вектору. Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма, и,,– базис,– базис.

   Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа , что

 и . Отсюда получаем:

и возможность разложения по базису доказана.

                                         рис.3.

   Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базисувекторногопространства:и. Получаем равенство

, откуда следует . Если, то, а т.к., тои коэффициенты разложения равны:,. Пусть теперь. Тогда, где. По теореме о коллинеарности двух векторов отсюда следует, что. Получили противоречие условию теоремы. Следовательно,и, ч.т.д.

3) Пусть – базиси пустьпроизвольный вектор. Проведем следующие построения.

Отложим все три базисных вектора и векторот одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы, плоскостьи плоскость; далее через конец векторапроведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:

                             рис.4.

По правилу сложения векторов получаем равенство:

                        .                                    (1)

По построению . Отсюда, по теореме о коллинеарности двух векторов, следует, что существует число, такое что. Аналогично,и, где. Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:

                    (2)

 и возможность разложения по базису доказана.

   Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису:

и . Тогда

       .       (3)

   Заметим, что по условию векторы  некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.

Возможны два случая: или.

а) Пусть , тогда из равенства (3) следует:

           .                        (4)

Из равенства (4) следует, что вектор раскладывается по базису, т.е. векторлежит в плоскости векторови, следовательно, векторыкомпланарные, что противоречит условию.

б) Остается случай , т.е..  Тогда из равенства (3) получаемили

             .                           (5)

Так как – базис пространства векторов лежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из равенства (5) следует, чтои, ч.т.д.

Теорема доказана.