13.3. Начальные условия.

Начальные условия - это значения токов, напряжений и их производных по времени в электрической цепи при t=0. Следует различать докомутационные i(0_-); u(0_-) и послекоммутационные i(0₊); u(0₊) начальные условия. Послекоммутационные начальные условия не всегда равны докоммутационным . Например, .

Начальные условия разделяются на независимые и зависимые.

Независимые начальные условия характеризуют энергию магнитного и электрического полей , запасенную к моменту коммутации.

Т.к. , то значения токов через индуктивность и напряжения на емкости к моменту коммутации ( т.е. в докоммутационном режиме ) и есть независимые начальные условия. Следовательно, независимые начальные условия определяются путем расчета токов через индуктивность и напряжений на емкости в докоммутационной схеме (любым методом рассмотренным ранее ). Значения всех остальных величин токов, напряжений и их производных по времени, приt=0₊ ( т.е. после коммутации ) определяемых, например, по законам Кирхгофа,с учётом независимых начальных условий называются зависимыми начальными условиями.

Если при t=0 ( к началу процесса ) токи и напряжения равны нулю, то такие начальные условия называются нулевыми. Например, .

В противном случае начальные условия называются ненулевыми.

4. Принужденный ( установившийся ), свободный и переходный режимы.

Режим работы электрической цепи, задаваемый внешними источниками электрической энергии, называется принужденным или установившимся.

Методы расчетов напряжений и токов в этом режиме изучались ранее.

Режим работы электрической цепи, возникающий при перераспреде-лении энергии магнитного и электрического полей, запасенных в индуктив-ностях и емкостях, включенных в электрическую цепь ( без учета энергии внешних источников ), называется свободным.

Т.к. рассматриваемые электрические цепи линейны, то к ним применим принцип суперпозиции ( наложения ). На основании этого принципа можно переходный режим рассматривать как линейную комбинацию принужденного и свободного режимов, то есть записать следующие соотношения:

Где i(t) и u(t) – мгновенные значения переходного тока и напряжения.

i_пр(t) и u_пр(t) – принужденные ( установившиеся ) составляющие переходного тока и напряжения.

i_св(t) и u_св(t) – свободные составляющие переходного тока и напряжения.

Процессы, происходящие в электрической цепи описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому анализ переходных процессов в линейной электрической цепи с постоянными параметрами R,L,C сводится к решению обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа.

Как известно, общий интеграл такого уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Частное решение – это режим , задаваемый внешними источниками, т.е. принужденный режим. Общее решение однородного уравнения физически определяет токи и напряжения в электрической цепи при отсутствии внешних источников, т.е. свободные составляющие токов и напряжений.

Таким образом, если цепь состоящая из элементов R,L,C подключается к источнику ЭДС e(t), то дифференциальное уравнение такой цепи ,

имеет решение

Метод, основанный на непосредственном решении дифференциальных уравнений электрической цепи, связывающих токи и напряжения, называется классическим методом расчета переходный процессов. Постоянные интегрирования определяются исходя из начальных условий и законов коммутации.