Лабораторная работа 3.12 Численное решение уравнения Лапласа

Цель работы:

1. Освоить методы численного решения уравнения Лапласа.

2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.

3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.

Задание:

1. По блок-схеме [3, с. 81-82] составить программу решения уравнения Лапласа методом «сеток».

2. В соответствии с вариантом задания (табл. 3.14) при заданных граничных условиях рассчитать установившееся температурное поле для квадратной области, выбрав шаг разбиения по обеим координатным осям h=0.5.

3. По результатам расчетов в декартовой системе координат построить картину распределения поля температур в заданной области.

4. Задавшись нулевыми граничными условиями u(x0, y)=0, u(xn, y)=0, повторить пункты 2, 3 задания.

5. Составить отчет по работе.

Таблица 3.14

№	Границы		Граничные условия нагрева
	x0, y0	xn, yn	u(x0, y)	u(xn, y)	u(x, y0)	u(x, yn)
1	0	1.5	30·y	0	30·(1-x2)	0
2	0	1.5	20·y	20·y2	20	50·x·(1-x)
3	0	1.5	0	50·y·(1-y2)	50·x·(1-x)	50·x·(1-x)
4	0	1.5	-10y2-8y+6	-10y2-10y+22	9·x2+7·x+6	9·x2-15·x-12
5	1.0	2.5	-7·y2-5·y+3	-7·y2-21·y+13	6·x2+4·x+3	6·x2-12·x-9
6	1.0	2.5	-6·y2-4·y+2	-6·y2-18·y+10	5·x2+3·x+2	5·x2-11·x-8
7	2.5	4.0	-5·y2-3·y+1	-5·y2-15·y+7	4·x2+2·x+1	4·x2-24·x-21
8	2.5	4.0	-19y2-17y+15	-19·y2-57·y+1	18x2+16x+15	18x2-24x-21
9	2.5	4.0	-2·y-4·y2	4-12·y-4·y2	x+3·x2	-5·x-9·x2-3
10	1.5	3.0	1	y+1	1	x+1
11	1.5	3.0	1	y+1	1	x2+1
12	1.5	3.0	-y3	1-y3	x2	x2-1

Окончание табл. 3.14
№	Границы		Граничные условия нагрева
	x0, y0	xn, yn	u(x0, y)	u(xn, y)	u(x, y0)	u(x, yn)
13	3.0	4.5	5·y-y2	4-y2+5·y	x2+3·x	x2+3·x+4
14	3.0	4.5	3-7·y	7-5·y	4·x+3	5·x-4
15	3.0	4.5	5-8·y	11-7·y	5·x+5	7·x-3
16	2.0	3.5	y2+4·y	y2+4·y+4	x2+3·x	x2+3·x+5
17	2.0	3.5	y2	(1-y)2	x2	(x-1)2
18	2.0	3.5	y2	y2+2·y	x2-x	x2+x+1
19	0.5	2.0	30·(1-y)	20·y	20·x	30·(1-x)
20	0.5	2.0	y2	y	1-x3	x2

Лабораторная работа 3.13 Численное решение уравнения Фурье для прямоугольного стержня

Цель работы:

1. Освоить методы численного решения уравнения теплопроводности для случая длинного прямоугольного стержня с теплоизолированными боковыми кромками.

2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.

3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.

Задание:

1. По блок-схеме [3, с. 85] составить программу решения уравнения Фурье для длинного прямоугольного стержня с теплоизолированными боковыми кромками.

2. В соответствии с вариантом задания (табл. 3.15) при заданных начальном F(x, 0) и граничных условиях первого рода Q(0, t) и R(L, t) рассчитать изменение температуры стержня длиной L по времени. Коэффициент температуропроводности задать равным а = 1; коэффициент, связывающий шаг по времени с шагом по пространственной координате, положить равным σ = 1,6. Число шагов по времени М =10.

3. По результатам расчетов на ЭВМ построить график изменения температуры по времени в средней по длине точке стержня u(L/2, t_j) и график распределения температуры по длине стержня по завершению процесса нагрева.

4. Повторить вычисления для σ = 1,2 и сопоставить результаты расчетов с предыдущим решением.

5. По составленной программе рассчитать изменение температуры стержня при граничных условиях второго рода на левом конце стержня (x=L):

.

При нулевом начальном распределении температуры стержня u(x, 0)=0 и скачкообразном изменении температуры на левом конце стержня (х=0) u (0, t)=100 ⁰C.

Примечание. Внести изменения в программу с учетом равенств, вытекающих из условия нагрева второго рода на конце стержня (x=L) при переходе к конечным разностям, где u_n,j = u_n-1,j: j=0÷m.

6. Составить отчет по работе.

Таблица 3.15

№	Длина	h	F(x, 0)	Q(0, t)	R(L, t)
1	1	0.2	0.3 + 2·x	0	6·t+0.9
2	2	0.4	1.75	0.5·t	0.5 – t
3	3	0.5	x/2 - 0.6	t - 0.2·t2	t + 0.2 t2
4	4	0.5	x/2 - 0.6	t - 0.2·t2	t - 0.2 t2
5	5	0.5	x + 0.3	t2 + t	t + 1
6	6	1.0	x·(x – 7)	t	2·t - 6
7	7	1.0	2.2	10·t	2.2
8	8	1.0	7 + x	t	3·(0.5 + t)
9	9	1.0	0.5+x·(0.8 - x)	0.6	3·(0.2 + t)
10	10	2.0	x·(x + 1)	0	2·t + 3
11	11	1.0	x2 – 0.08	t	t
12	12	2.0	2.5·x – 1.5	t + 1	t + 1
13	13	1.0	x·0.8 – x)	0.6	3·(0.2 + t)
14	14	2.0	0.9+2·x·(1 - x)	3·(0.3 - 2·t)	1.38
15	15	3.0	x·(1 – x) + 0.2	0.2	2·(t + 0.22)
16	16	4.0	3·x·(2 - x)	0	t + 2.52
17	17	1.0	3·x·(2 - x)	0	t + 2.52
18	18	2.0	x·(1 – x)	0	t + 1
19	19	1.0	x·(1 – x)	0	t + 1
20	20	2.0	x + 0.3	t2 - t	0