Лабораторная работа 3.10 Численные методы решения задачи Коши

Цель работы:

1. Освоить численные методы решения задачи Коши.

2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.

3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.

Задание:

1. По блок-схеме [3, с. 73] составить программу решения задачи Коши методом Эйлера.

2. В соответствии с вариантом задания решить задачу Коши на интервале [0, 0.6] с точностью ε =10^-1 , задавшись начальным числом участков разбиения n = 2. Варианты задания приведены в табл. 3.11.

3. По блок-схеме [3, с. 73] составить программу решения задачи Коши методом Рунге-Кутта.

4. В соответствии с вариантом задания решить задачу Коши на интервале [0, 0.6] с точностью ε =10^-2 , задавшись начальным числом участков разбиения n = 2. Варианты задания приведены в табл. 3.11.

5. Сравнить результаты решения, полученные при использовании методов Эйлера и Рунге-Кутта, и оценить их эффективность.

6. Составить отчет по работе.

Таблица 3.11

№	Исходное уравнение	Начальное условие
1	y' = 0.1·t2 + 2·t ·y	y(t=0) = 0.8
2	y' =3·t·y - 0.2·y	y(t=0) = 0.5
3	y' = 2·t·y - 0.2	y(t=0) = 0.3
4	y' = 0.3·t + y	y(t=0) = 0.4
5	y' = (0.4 - t2)·y	y(t=0) = 0.7
6	y' = 0.9·y + 0.1·t	y(t=0) = 0.6
7	y' = y - 2·t2	y(t=0) = 0.2
8	y' = 2·t + y	y(t=0) = 0.1
9	y' = 0.1·t·y + 0.3·y	y(t=0) = 0.9
10	y' = 3·t·y - 0.1	y(t=0) = 0.4
11	y' = 0.5·t - y	y(t=0) = 0.2

		Окончание табл. 3.11
№	Исходное уравнение	Начальное условие
12	y' = y - 2·t	y(t=0) = 0.5
13	y' = 3·t· - 0.2·y	y(t=0) = 0.2
14	y' = 0.9·t + 0.1·y	y(t=0) = 0.1
15	y' = (0.2 - t)·y	y(t=0) = 0.3
16	y' = 2·t2 + y	y(t=0) = 0.4
17	y' = 0.7·y - 0.1·t	y(t=0) = 0.5
18	y' =3·t·y + 0.2·t2	y(t=0) = 0.3
19	y' = 0.1·t + 2·t2 ·y	y(t=0) = 0.4
20	y' = (0.2 + t)·y	y(t=0) = 0.2

Лабораторная работа 3.11 Численное решение краевой задачи

В качестве примера краевой задачи рассматривается задача о прогибе опертой по концам балки, находящейся под нагрузкой. Если балка оперта по концам, то прогиб балки по обоим концам равен нулю.

Дифференциальное уравнение прогибов балки описывается уравнением

,

где M – изгибающий момент, кг/м;

E – модуль упругости, величина которого зависит от материала балки, кг/см²;

J – момент инерции, величина которого зависит от профиля балки, см⁴.

Исходные данные по материалу и профилю балки представлены в табл. 3.12. Варианты заданий, отличающиеся распределением усилий по длине балки, приведены в табл. 3.13. Значения сосредоточенных усилий и моментов равны Р = 10⁴ кг, М =10⁶ кг·см. Положительными являются усилия, направленные вверх, и моменты, направленные по часовой стрелке. Длина балки l = 1 м. Разбиение балки на участки необходимо производить таким образом, чтобы точки приложения сосредоточенных нагрузок совпадали с узлами разбиения, а число участков разбиения было четным.

Пример разбиения балки представлен ниже на рисунке.

Расчет опорных реакций R_A и R_B

Σ M_A = P·l – P·l/2 – R_B = 0; R_B = 1/2·P;

Σ M_B = P·l/2 + P·l + R_A = 0; R_A = -3/2·P

Цель работы:

1. Освоить методы решения краевой задачи.

2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.

3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.

Задание:

1. Рассчитать опорные реакции, исходя из условия равенства нулю суммы изгибающих моментов относительно левого и правого концов балки.

2. Определить формулы для расчета коэффициентов α₀, α₁, β₀, β₁, a_i, b_i, c_i, d_i [3, с. 75].

3. По блок-схеме [3, с. 77] составить программу решения краевой задачи методом «прогонки».

4. В соответствии с вариантом задания решить краевую задачу Коши с точностью ε =10^-1 , задавшись начальным числом участков разбиения n = 4. Для вариантов с нечетными номерами профиль балки – двутавр, для четных вариантов – швеллер. Повторить вычисления для двух моментов инерции и для двух произвольных материалов из табл. 3.12.

5. Составить отчет по работе, содержащий график прогиба балки.

Таблица 3.12

Профиль	J, см4	Материал	Е, кг/см2
Двутавр	2·102	Сталь	2·106
	7·103	Медь	1.2·106
	2·105	Чугун	1.1·106
Швеллер	2·101	Алюминий	0.7·106
	2·102	Стеклопластик	0.25·106
	2·103	Древесина	0.1·106

Таблица 3.13

№	Распределение усилий по длине балки
	x=0.25·l	x=0.5·l	x=0.75·l	x=l
1	Р	-	-Р	-
2	-	М	-Р	-
3	-Р	-	М	-
4	-	Р	-	-М
5	М	-Р	-	-
6	-М	-	-Р	-
7	Р	-Р	-	-
8	Р	-М	-	-
9	-Р	-	-	М
10	-	-М	Р	-
11	-	Р	-Р	-
12	М	-	Р	-
13	М	-М	-	-
14	-	-	М	-М
15	-	-Р	-	М
16	-	М	-М	-
17	Р	-	-	-М
18	-Р	М	-	-
19	-	-	Р	-М
20	-М	-	М	-