Теория экономического анализа

Теория экономического анализа

Вывод. Анализ показывает, что направленность действий факторов противоположная, поэтому влияние каждого из них на изменения результа- тивного фактора отчасти взаимно компенсируется.

4.2.1.4. Методы стохастического факторного анализа

Основы теории корреляции

Между результирующем показателем и факторами его обусловливающими различают две формы связи: функцио- нальную и корреляционную. Корреляция – латинского про- исхождения и в переводе означает «взаимосвязь». Корреляци- онная зависимость в отличие от функциональной, проявляет- ся лишь в общем виде, и только в массе наблюдений.

Корреляционная зависимость проявляется только в сред- них величинах и выражает количественное соотношение меж- ду ними в виде тенденции к возрастанию или убыванию одной переменной величины при возрастании или убывании другой.

Корреляционная связь является свободной, неполной и неточной связью. Например, себестоимость единицы продук- ции зависит от уровня производительности труда: чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость. Но себе- стоимость зависит так же и от ряда других факторов: стоимо- сти сырья и материалов, топлива, электроэнергии, их расхода на единицу продукции, цеховых и общезаводских расходов и др. Поэтому нельзя утверждать, что при повышении произво- дительности труда, допустим на 10%, себестоимость снизится так же на 10%. Может случиться, что, несмотря на рост произ- водительности труда, себестоимость не только не снизится, но

112

Глава 4. Методы экономического анализа

даже несколько повысится, если на нее окажут влияние дейст- вующие в обратном направлении другие факторы.

Вот почему корреляционная связь может быть установ- лена только, в общем, в среднем путем исключения влияния факторов, не являющихся предметом нашего исследования.

В простейшем случае корреляционного анализа иссле- дуется связь между двумя показателями, из которых один рас- сматривается как независимый показатель- фактор (его вели- чина обозначается через x), а второй – как зависимая пере- менная (ее величина обозначается через y). Корреляционный анализ предназначен для количественного измерения выяв- ленной связи.

Еще до математического расчета считается установлен- ным, что связь между x и y существует или, по меньшей мере, может существовать и характеризуется функцией y = f(x). Од- ной из первых задач корреляционного анализа является уста- новление вида этой функции, т.е. отыскание такого корреля- ционного уравнения (иначе оно называется уравнением рег- рессии), которое наилучшим образом соответствует характеру изучаемой связи.

По аналитическому выражению корреляционная связь может быть прямолинейной и криволинейной. Прямоли- нейной называется связь, когда величина явления изменяется приблизительно равномерно в соответствии с изменением ве- личины влияющего фактора.

Простейшим таким уравнением является уравнение прямой:

Y = a0 + a1x.

На следующем этапе является выявление уравнения прямой при данной зависимости, т.е. определение численных значений постоянных величин уравнения: а0 и а1, при которых прямая будет наилучшим образом соответствовать имеющим- ся фактическим данным. Практически для расчетов необхо- димо иметь не менее 20–25 пар наблюдаемых значений x и y. При меньшем их количестве трудно ожидать надежных и убедительных результатов исследования.

113

Теория экономического анализа

В качестве критерия, по которому отыскивается «наи- лучшая» прямая принято брать минимум суммы квадратов отклонений фактического значения y от вычисленных по уравнению прямой. Минимум квадратов отклонений соответ- ствует единственная прямая, коэффициенты которой отыски-

ваются так называемым методом наименьших квадратов.

После того, как будут найдены значения а0 и а1, находят дисперсию (сумма квадратов отклонений) сначала фактиче- ских значений y от среднего его значения, а затем дисперсию разброса y расчетного от y фактического.

Чтобы определить насколько сократилась сумма квадра- тов отклонений при переходе от средней арифметической к уравнению прямой, необходимо разделить разницу между двумя дисперсиями на исходную дисперсию:

,

где – дисперсия разброса y от его средней арифметиче- ской;

– дисперсия разброса расчетного y от y фактического.

Полученная величина показывает, на сколько уменьши- лась сумма квадратов отклонений при переходе от среднего показателя к расчету y по данному уравнению. Эта величина называется коэффициентом детерминации и характеризует силу воздействия данной причины. Если из данного выраже- ния извлечь квадратный корень, то этот показатель называет-

ся коэффициентом корреляции:

.

Уравнение связи и коэффициент корреляции являются важнейшими обобщающими характеристиками корреляци- онной зависимости между изучаемыми признаками. Если в действительности никакой связи между двумя изучаемыми переменными нет, то никакое уравнение прямой не даст нам

114

Глава 4. Методы экономического анализа

лучшей характеристики y, чем дает средняя арифметическая. Тогда числитель коэффициента корреляции становится равен нулю ( и соответственно, сам коэффициент тоже ра- вен нулю. Если же между переменными существует тесная связь, значит = 0 и коэффициент корреляции близок к 1. Отсюда, коэффициент корреляции может принимать значе- ния по абсолютной величине от 1 до 0, меняя при этом знак. При положительном его значении с увеличением x величина y увеличивается; при отрицательном – величина y уменьшается

при возрастании x.

Если происходит неравномерное изменение явления в связи с изменением величины влияющего фактора, то такая связь называется криволинейной. Математически криволи- нейная зависимость может быть выражена уравнением криво- линейной связи, т.е. уравнение корреляции может принимать

ине линейный вид, чаще всего в виде:

параболы:

;

гиперболы:

1;

показательной функции: y = abx.

Логарифмируя показательную функцию, получаем:

log y = log a + x log b.

Если обозначить

log a = a0, a log b = a1,

то получим сочетание натуральной шкалы для x и логариф- мической шкалы для y:

log y = a0 + a1x.

При использовании любой формы корреляционной за- висимости теснота связи между переменными может быть из- мерена с помощью коэффициента корреляции.

115

Теория экономического анализа

Модели множественной корреляции

Величина исследуемого показателя, особенно в эконо- мике, складывается обычно под влиянием не одного, а многих различных факторов, каждый из которых в отдельности мо- жет не оказывать решающего воздействия. Но совместное влияние нескольких факторов является уже достаточно силь- ным, чтобы по их изменениям можно было судить о величине зависимого показателя.

В этих случаях строятся модели множественной корре- ляции. В многофакторных моделях выбор уравнения связи представляет собой сложную задачу, так как действия различ- ных факторов взаимно переплетаются, и отсутствует возмож- ность графического контроля. В данном случае еще большее значение приобретает качественный анализ характера связи каждого из факторов с зависимым показателем. Если эта связь линейная или близка к ней, то применяется линейное урав- нение множественной корреляции:

y = a0 + a1x1 + a2x2 + … + anxn.

Если при анализе влияние двух факторов на исследуе- мый показатель выяснилось, что с первым из них связь линей- ная, а со вторым – криволинейная, причем кривая приблизи- тельно соответствует параболе, тогда уравнение будет выгля- деть следующим образом:

.

Нередко в уравнение вводятся члены с произведением переменных:

y= a0 + a1x1 + a2x2 + a3x1x2.

Кпростым уравнениям множественной корреляции от-

носится линейно-логарифмическая функция:

log y = a0 + a1 log x1 + a2 log x2 + ... + an log xn

или в нелогарифмичекой записи:

… .

Эта функция часто применяется в экономико-статисти- ческих моделях. Позволяет лучше, «тоньше» отразить дейст- вительный характер связи между изучаемыми признаками, чем простое уравнение прямолинейной зависимости. Однако

116

Глава 4. Методы экономического анализа

необходимо иметь в виду, что применение линейно-логариф- мического уравнения вносит известную погрешность при оп- ределении расчетных значений зависимой переменной y.

Для определения коэффициентов регрессии множест- венной корреляции используют также метод наименьших квадратов. Мерой надежности здесь служит средняя квадра- тическая ошибка уравнения множественной корреляции:

∑ факт. расч. ,

, , … …

где N – количество единиц наблюдений; k – количество по- стоянных величин в уравнении.

Отвлеченной мерой тесноты связи между включенными в модель показателями-факторами с одной стороны, и зави- симыми показателями с другой стороны, является коэффи-

циент множественной корреляции:

По абсолютной величине коэффициент множественной корреляции изменяется от 0 до 1. Определенного знака он при этом не имеет, так как с одними из показателей-факторов корреляция может быть положительной, с другими – отрица- тельной, с третьими – знакопеременной.

Даже при очень высоком коэффициенте множественной корреляции не исключено, что влияние отдельных факторов окажется ничтожным, а их включение в корреляционную мо- дель – неоправданным. Об этом можно судить на основе ко-

эффициента частной (чистой) корреляции.

При исследовании определенной зависимости вначале выделяется один показатель-фактор и вычисляется линейное уравнение парной корреляции:

117

Теория экономического анализа

y= a0 + a1x.

Вдальнейшем в анализ вводится еще один фактор, воз-

действующий на зависимую переменную, и в результате по- лучаем линейное уравнение множественной корреляции:

.

Надежность оценок измеряется средней квадратической ошибкой. Обозначим среднюю квадратическую ошибку пар- ной корреляции как δy1, а среднюю квадратическую ошибку множественной корреляции как δy1,2. Если δy1,2 значительно меньше δy1, то это означает, что введение второго фактора на- много повысило точность оценок. Если эти ошибки близки по значению, влияние второго фактора в общей корреляцион- ной связи невелико. Меру увеличения корреляции за счет введения второго фактора дает следующий показатель:

Корень квадратный из этого показателя является коэф-

фициентом частной корреляции, характеризующий тесноту связи между независимой переменной x2 и зависимой пере- менной y при уже учтенном влиянии первого фактора – неза- висимой переменной x1.

Аналогично определяется и коэффициент частной кор- реляции переменных x1 и y при неизменной величине незави- симой переменной x2:

Применение корреляционных методов в экономических исследованиях

Экономические явления складываются под воздействием множества факторов, однако стремление учесть их в корреля- ционной модели в возможно большом количестве очень редко себя оправдывает. Такая корреляционная модель получается чрезмерно громоздкой, причем влияние значительной части факторов несущественно. Поэтому с самого начала для вклю-

118

Глава 4. Методы экономического анализа

чения в корреляционную модель должны отбираться те фак- торы, которые оказывают наиболее сильное влияние на раз- мер анализируемого показателя.

На первом этапе такой отбор проводится методами каче- ственного анализа, которые дополняются простым сопостав- лением исходных количественных данных. Далее дисперси- онный анализ позволяет проверить существенность не только регрессии в целом, но и каждого коэффициента регрессии и коэффициента частной корреляции в отдельности.

Ведущим направлением корреляционного анализа в экономике является исследование зависимостей в сфере про- изводства. Производственные функции, основанные на дан- ном анализе, описывают зависимость между показателями производственной деятельности предприятия: объемом вы- пускаемой продукции, капитальными затратами, фондоотда- чей, производительностью труда и др.:

, ,… ,

где P – объем производства; F – факторы, определяющие размер выпуска – затраты ресурсов: труда, основных средств, сырья, материалов др.

Данная зависимость выражается множественной корре- ляцией. Наиболее часто в качестве криволинейной функции выпуска продукции используется уравнение следующего вида:

Для каждого фактора (определенного вида ресурсов) можно определить абсолютную скорость, с которой в пределе возрастает выпуск продукции с ростом затрат данного факто- ра. Эта абсолютная скорость определяется как частная произ- водная выпуска продукции по затратам данного вида ресурса:

… .

119

Теория экономического анализа

Абсолютная скорость зависит от величины всех компо- нентов уравнения корреляционной связи, т.е. между затрата- ми всех ресурсов и выпуском продукции.

Наряду с абсолютной скоростью большой интерес пред- ставляет выявление и относительной скорости, показывающей на сколько процентов возрастает выпуск при увеличении за- трат ресурсов данного вида на 1%. Для получения относитель- ной скорости нужно величину абсолютной скорости умножить на отношение затрат ресурсов к выпуску продукции. Так для первого вида ресурса относительная скорость составит:

Относительная скорость изменения объема выпуска продукции от изменения затрат на 1% называется эластично- стью выпуска по затратам и обозначается символом E.

Ei = аi,

где ai – коэффициент регрессии.

Таким образом, при использовании в качестве функции выпуска уравнение (1), эластичность выпуска продукции для каждого фактора является величиной постоянной и равняется соответственно коэффициенту регрессии. Иными словами, при любом объеме затрат и выпуска продукции, увеличение затрат i-го вида ресурсов на 1% ведет к увеличению выпуска продукции на аi%.

Для характеристики функции (4.1) существенное значе- ние имеет величина суммарной эластичности – сумма коэф- фициентов регрессии, которая обозначается символом А и определяется по формуле:

A = a1 + a2 + a3 + … +an.

Если предположить, что затраты всех видов ресурсов воз- растают в k раз, тогда величина выпуска продукции составит:

120