7. Многокритериальные оценки в задачах планирования эффективности фирмы

Оценка эффективности фирмы требует сравнения между собой результатов деятельности с разных точек зрения. Результат деятельности на любом уровне управления характеризуется определением множеством пространственных и временных показателей состояния оцениваемого объекта

, ,

где - вектор показателей состояния экономической системы;

- численное значение показателя , принадлежащее множеству его допустимых состояний;

- число показателей, характеризующих эффективность деятельности фирмы.

В зависимости от цели показатели состояния экономической системы являются несопоставимыми, как по единицам, так и по мерам измерения. По этой причине прямое соизмерение элементов вектораоказывается невозможным. Основой для соизмерения различных по своему смыслу значений показателей состояния экономической системы является оценка их качества. Оценка заключается в определении меры предпочтения в виде числа, характеризующего конкретное состояние экономической системы с точки зрения оценки результатов деятельности фирмы. Численную оценку состояния, относящейся к определенному множеству свойств назовем соответственно дифференциальной и обобщенной оценкой состояния системы. Величина дифференциальной оценки состояния системы находится с помощью одномерной функции предпочтения. При этом важно заметить, что дифференциальные оценкиединичных показателей оказываются численно сравнимыми между собой.

В условиях многокритериальности состояние экономической системы оценивается вектором дифференциальных оценок предпочтения , полученных для соответствующего вектора показателей состояния экономической системы. Вместе с тем, несмотря на то, что каждый компонент векторов дифференциальных оценок состояния системы является сравнимым по отношению к любому компоненту этого или другого вектора, решение задачи упорядочивания объектов оценки путем прямого сопоставления векторов дифференциальных оценок оказывается невозможным в ряде случаев.

При попарном сравнении показателей ипо вектору дифференциальных оценок состояния системыирезультатстрого лучше результата, если для всехвыполняется неравенствопричем хотя бы для одногоэто неравенство строгое. При обратном неравенстведлярезультатстрого хуже результата. Если компоненты векторовиравны между собой, то и результатыиимеют равное качество. В обобщенной форме условие векторной сравнимости объектов оценки имеют вид:

либо ,

либо , (7.1.)

либо .

При выполнении одного из трех условий (7.1.) каждая пара результатов и, произвольно взятая из множества, и, оцениваемая по состоянию векторови, оказывается безусловно сравнимой. В противном случае имеет место неоднозначность векторного сравнения. Система отношений (7.1.) представляет безусловный критерий предпочтения для сравнения векторных величин. Введение отношений строго порядка для сравнения результатов по вектору показателей позволяет лишь частично упорядочить оцениваемые состояния системы и, вместе с тем, выделить ряд объектов сравнения, не связанных между собой отношением строго порядка предпочтения.

При сравнении состояний системы, для которых условие (7.1.) не выполняется, недостаточно знать состояние значений векторов и. Исходя из назначения оцениваемых состояний системы и возможностей их получения, необходимо определить и задать принципиальную схему компромисса, которая позволяла бы в некотором смысле упорядочить между собой множество векторно-сравнимых альтернатив.

Допустим, что вектор показателей состояния системы адекватно отображает содержание цели управления. Тогда задача оценки на множестве показателей сводится к определению отображения . Отображение позволяет соотнести каждому вектору дифференциальных оценокскалярную величину обобщенной оценки,, характеризующую степень предпочтительности данного вектора по отношению к остальным из множества. Операторявляется многомерной функцией предпочтения, имеющей определенную схему компромисса, с помощью которой производится разрешение неоднозначности сравнения состояний системы по множеству показателей. Скалярная величинахарактеризует обобщенный уровень состояния системы относительно фактического состояния значений вектора.

Анализ различных подходов к решению многокритериальных задач показывает, что в практике экономических исследований применяются различные схемы компромисса, выбор которой связан с определением зависимости жесткости обобщенного критерия оценки от вариации частных показателей.

Рассмотрим условия, определяющие выбор необходимой схемы компромисса для свертки векторов дифференциальных оценок состояний дискретной системы. Для этого необходимо выяснить, каким образом связана общая эффективность деятельности фирмы с тем или иным состоянием вектора показателей, значения которых находятся в области допустимых от нормативной величины, т.е. удовлетворяют заданной системе ограничений.

Если вектор показателей состояния системы содержит хотя бы одно или несколько значений, находящихся за пределами или на границе допустимой области их отклонений, то такая ситуация приводит к нарушению устойчивости функционирования всей производственной системы в целом. В этом случае общая эффективность деятельности фирмы определяется наименее предпочтительной величиной дифференциальной оценки из числа полученных. Действительно, даже наилучшее значение остальных показателей не в состоянии вернуть производственную систему в устойчивый режим функционирования, пока наихудшее состояние показателя не будет улучшено хотя бы до его критического значения. Такая композиция вектора показателей состояния системы отвечает самой жесткой схеме многомерной функции предпочтения, основанной на принципе максимина.

Максимин в теории решений, теории игр – наибольший из всех минимальных элементов строк платежной матрицы. Выбор игроком строки матрицы с максиминным элементом (те.. выбор соответствующей стратегии) означает, что он решил довольствоваться гарантированным (хотя и не самым большим) выигрышем. Иначе говоря, принцип максимина – правило принятия осторожных решений. Стратегия, соответствующая максиминному значению среди минимумов строк, называется максиминной стратегией. Соответствующий критерий (критерий Вальда) записывается как

,

где - номер строки (стратегии первого игрока);

- номер столбца (стратегии второго игрока);

- выигрыш первого или проигрыш второго игрока для элемента, находящегося на пересечении строки и столбца.

Применяется также обобщенный максимин (критерий Гурвица). Он содержит специальный множитель:

• обращаясь в единицу, этот множитель сводит критерий к максимину (осторожному выбору);

• обращаясь в нуль - напротив, будет приводить к выбору такой стратегии, которая максимизирует максимальный выигрыш (максимакс).

Промежуточные величины коэффициента характеризуют разную степень оптимизма при выборе решения. Применительно к многокритериальным задачам принцип максимина заключается в максимизации показателя, имеющего минимальное значение. Но при этом следует провести анализ поведения и непротиворечивости этих показателей.

За величину обобщенной оценки состояния системы принимается минимальная величина дифференциальной оценки из множества достигнутых:

.

Принцип максимина устанавливает такой порядок предпочтения между объектами сравнения, при котором объект лучше объекта, если. В этом случае отношение к состоянию объекта не изменяется при улучшении любого из показателей, пока не будет улучшен показатель, находящийся в самом худшем состоянии по отношению к другим. Принцип максимина является самой сильной формой компромисса при построении многомерной функции предпочтения.

По мере того, как границы вариации вектора показателей от критического значения сдвигаются в сторону нормативных величин, общая эффективность оцениваемого результата все в большей степени возрастает, а влияние эффективности показателя, имеющего наименее предпочтительное состояние, ослабевает перед остальными.

При достижении всеми показателями нормативной величины, потребности в каждом свойстве результата удовлетворяются в равной мере, поскольку такая ситуация приводит к необходимым пропорциям выпуска продукции и расхода производственных ресурсов. Из этого следует, что общая оценка эффективности результата в равной степени зависит от оценки каждого показателя. Для свертки такого вектора показателей применима аддитивная форма многомерной функции предпочтения:

где - нормативный коэффициент веса показателя,.

Превышение всех значений вектора дифференциальных оценок их нормативных величин означает безусловное выполнение производственной программы и обеспечивает устойчивость экономической системы за счет образования резерва ресурсов. Полученный таким образом дополнительный запас устойчивости экономической системы позволяет перейти к улучшению тех показателей, реализация которых обещает наибольший экономический эффект. В этой связи общая эффективность экономической системы все больше определяется размером экономического эффекта, обусловленного состоянием улучшаемого показателя. По этой причине уменьшение вариации показателей и приближение их значений к наилучшему состоянию должно вызывать определенное уменьшение «жесткости» обобщенного критерия оценки эффективности экономической системы по отношению к аддитивной форме его представления. В предельном случае, когда вся совокупность показателей имеет наилучшие значения из числа известных, общая эффективность определяется наилучшей оценкой любого из показателей при условии, что масштаб измерения общей эффективности соответствует масштабу измерения каждого из показателей.

Таким образом, форма компромисса многомерной функции предпочтения для оценки эффективности экономической системы должна быть переменой и адаптивной к изменению состояния вектора показателей. Только при таких условиях модель обобщенной оценки способна адекватно отобразить изменения эффективности оцениваемого результата относительно изменения состояния показателей экономической системы, а полученные величины обобщенных оценок могут быть использованы в управлении фирмой.

Изменение схемы компромисса для многомерной функции предпочтения, адекватное влияние каждого показателя из множествана общую эффективность результатаотражается в целевой функции в виде средневзвешенной степенной зависимости

(7.2.)

где - степенная зависимость общей эффективности результатаот состояния системы;

- показатель степени;

- вектор коэффициентов нормативной весомости, ;

- величина дифференциальной оценки показателя ,,.

Неравномерность влияния каждого линейного приращения показателя на общую эффективность связана с величиной . Действительно, придавая величинезначения отдо, из выражения (7.2.) получаем бесконечное множество многомерных функций предпочтения, в том числе и таких, которые обладают известной формой компромисса:

(7.3.)

Из выражения (7.3.) видно, что для значений показателя степени степенная функциядает последовательный ряд многомерных функций предпочтения, выравнивающих вектор показателей работы фирмыв соответствии с гармонической, геометрической и арифметическими средними. Предельной границей степенных средних являются значения векторадляидля. Если оцениваемые значения показателей, средние величины из (7.3.) связаны между собой свойством мажорантности². Свойство мажорантности степенных средних упорядочивает множество многомерных функций предпочтения по возрастанию их значений, определяемых для одного и того же вектора показателей и вектора коэффициентов нормативной весомости, т.е.

.

Различия в величине обобщенной оценки , полученной для одного и того же векторана основе многомерной функции предпочтения с разной схемой компромиссаобъясняются неодинаковым замещением показателей при движении оцениваемого результата вдоль линии равной эффективности. Характер взаимозаменяемости показателей определяется эластичностью замещения

,

где - предельная норма замещения показателей, которая показывает насколько может быть ухудшен один показательпри улучшении другого, если предпочтение к исходному и новому состояние вектора показателей остается неизменным.

Чем выше абсолютное значение эластичности замещения показателей , тем в большей степени они могут замещать друг друга. Применительно к задачам оценки эффективности фирмы эластичность замещения показателей связана с влиянием вариации вектора их состояний на устойчивость деятельности фирмы. В теории систем показано: устойчивость функционирования системы определяется наименее надежным звеном. Из этого следует, что характер замещения свертываемых показателей в обобщенную характеристику предпочтения определяется местоположением нижней границы вариации оцениваемых значений на допустимом интервале показателей. Нижняя граница вариации множества показателей определена одним из наименее предпочтительных значений. Тогда аналитическая связь эластичности замещения показателей с устойчивостью производства моделируется с помощью выражения

, (7.4.)

где - минимальное значение дифференциальной оценки показателей из числа сравниваемых;

- параметр, устанавливающий эластичность замещения для определенной точки.

При критерий свертки вектора показателей соответствует средней геометрической.

Если многомерный критерий предпочтения задан в виде средних степенных, то показатель степени связан с эластичностью замещения следующим соотношением

. (7.5.)

Для того, чтобы обобщенный критерий предпочтения был задан полностью, необходимо определить коэффициенты нормативной весомости , величина которых определяет меру влияния показателяна общую эффективность результата, когда экономическая система находится в нормативном устойчивом состоянии. Из этого следует, что нормативная весомость показателя не зависит от его вариации и остается постоянной для каждой точки на допустимом интервале. Характеристикой нормативной весомости показателей состояния экономической системы является относительная величина, необходимая для достижения показателяна нормативном уровне. Величинаопределяется соотношением

(7.6.)

где - нормативные затраты ресурса, привлекаемого для выполнения планового задания по показателю.

Представленная модель обобщенной оценки эффективности деятельности фирмы в виде (7.2) и используя соотношения (7.4.), (7.5.), (7.6.) обеспечивается адаптация ее чувствительности по отношению к состоянию экономической системы и проводимой политики менеджмента.