4. Отношения предпочтения, функции ценности и выбора

Отношения предпочтения хорошо описываются с помощью бинарных отношений. Бинарные отношения применяются для описания не только предпочтений, но и попарных связей между объектами произвольной природы.

Бинарным отношением на множественазывается подмножество множества, т.е. совокупность упорядоченных пар. Если, то говорят, чтоинаходятся в отношении, и этот факт записывается следующим образом.

К бинарным отношениям, как к множествам применимы все теоретико-множественные операции:

- пересечения;

- объединения;

\ - образование разности.

Для отношений вводятся и специфические операции. Под понимается отношение, обратное к, которое определяется следующим образом:

т.е. пара включается втогда и только тогда, когда паравходит в.

Элементы иизназываются сравнимыми по, если справедливоили, и несравнимыми пов противном случае (т.е. когда неверно ни, ни). Отношениеназывается полным (или связанным), если любыесравнимы (в том числе при). Отношение, не являющееся полным, называется частичным (или несвязанным).

Пусть . Отношениеназывается сужениемна.

Отношение называется рефлексивным, еслидля любого, и иррефлексивным, если, т.е.не верно ни для одного.

Отношение называется симметричным, если изследует, называется асимметричным, есливлечет, и антисимметричным, если изивытекает. Асимметричное отношение является и иррефлексивным.

Отношение называется транзитивным, если изиследует.

Например, отношение («не меньше») на множестве действительных чисел рефлексивно, антисимметрично, транзитивно и полно. Отношение > («больше») иррефлексивно, асимметрично, транзитивно, но не является полным, так какневерно.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется эквивалентностью. Примером эквивалентности служит отношение равенства (=) векторов из . Эквивалентность тесно связана с разбиениями множеств. Совокупностьнепустых подмножеств множестваназывается его разбиением, если они попарно не пересекаются (при) и в совокупности составляют все множество, т.е.. Подмножестваназываются классами разбиения.

Если эквивалентность, то она порождает разбиениеследующим образом:иотносятся к одному классу (называемому классом эквивалентности) в том и только в том случае, если. Обратно, для разбиениямножества, отношение, определяемое как:, оказывается эквивалентностью тогда и только тогда, когдаиотносятся к одному и тому же классу разбиения.

Иррефлексивное транзитивное (а потому и асимметричное) отношение называется строгим (частичным) порядком, а рефлексивное и транзитивное отношение – (частичным) квазипорядком (или предпорядком). Антисимметричный квазипорядок называется (частичным) порядком.

5. Целевая функция потребления

Целевая функция потребления или функция полезности потребительского поведения – частный случай функции полезности, представляющий математическую модель потребительских предпочтений. Согласно этой модели все множество потребительских наборов (векторов возможного потребления) , где- количество потребительских благ, упорядочено имеющимся у потребителя предпочтением, так что если наборболее предпочтителен, чем набор, то значение функции полезностидля векторабольше, чем для вектора:. В соответствии с классической моделью поведение потребителя на рынке потребительских благ обусловлено стремлением получить максимум полезности: при заданных ценахи бюджете (намечаемом расходе денег)функцииспроса на товардолжны являться решением оптимизационной задачи:

, ,. (5.1.)

Термин «функция полезности» не означает некую абсолютную, объективную полезность потребительского набора для потребителя. Отдельные товары в рамках «оптимального» поведения, описываемого решением задачи (5.1.), могут приносить вред здоровью, например, табачные изделия, спиртные напитки. Но если потребителю это нравится, то он будет потреблять эти товары, даже зная о том, что они вредны. Точно так же нельзя считать всякое поведение, максимизирующее соответствующую функцию полезности, действительно рациональным, хотя спрос, соответствующий (5.1.) часто называют рациональным. В данном случае подразумевается лишь непротиворечивость спроса и предпочтения. Для того, чтобы говорить о рациональности в более точном смысле, необходимо ее дополнительное определение.

Кривые безразличия (или поверхности, гиперповерхности), задаваемые соотношением , не зависят от монотонного преобразованияфункции полезности:,. Функция полезности, определенная только с точностью до своих поверхностей безразличия, называется функцией порядковой (ординальной) полезности. Такие функции полезности могут использоваться при описании и прогнозировании потребительского поведения в ряде простых случаев, но не годятся для многих задач распределения благ между социальными группами или задач динамической оптимизации, что вызывало со стороны ряда экономистов критику всей теории полезности.

Если предпочтения потребителя упорядочены не только относительно пары наборов , но и изменения наборов,, то (при определенных условиях относительно этих двух упорядоченностей) функция полезности определяется с точностью до положительного линейного преобразования:,. При этом данная функция полезности является индикатором, как наборов, так и переходов,. Такую функцию полезности естественно называть интервальной, в соответствии с терминологией математической теории измерений, так как отношения разностей шкальных значений полезности не меняются при допустимом преобразовании. Именно такие функции полезности введены создателями теории игр Дж. фон Нейманом и О. Моргинштерном (США) в их подходе к описанию предпочтений на денежных суммах через лотереи. Для потребителя связь между полезностью благи полезностью денегможет даваться формулой:, где- функция спроса от дохода. В этом случае предельная полезность дохода (множитель Лагранжа на бюджетное ограничение в задаче (5.1.)) совпадает с производной функциив точке.

Можно выделить два основных подхода к практическому построению функции полезности. Первый из них – подход, основанный на прямом диалоге с лицом, принимающем решение, когда ему предлагаются следующие вопросы:

• о предпочтениях между альтернативами и лотереями, т.е. розыгрышами двух или нескольких альтернатив с заданными вероятностями;

• об альтернативах, находящихся по предпочтению «посредине» между двумя альтернативами;

• о сравнении пар альтернатив по степени предпочтения.

Второй подход основан на эконометрических методах анализа экономической статистики. Первый подход применяется в задачах принятия решений в условиях риска и при многих критериях, второй - в макроэкономических исследованиях и при анализе данных социально-экономических обследований (в том числе при построении индексов общественного благосостояния).

Интервальные функции полезности могут использоваться в моделях с линейным целевым функционалом. Например, в моделях оптимального управления с целевым функционалом или задачах на оптимальное распределение благ между социальными группами с утилитаристской функцией благосостояния.

Для порядковых функций полезности это запрещено, так как оптимальное решение не инвариантно относительно допустимого (монотонного) преобразования шкалы полезности. Если известна интервальная функция полезности дохода , соответствующая некоторой функции полезности, то любую порядковую функцию полезностиможно «довести» до интервальной. Так, если, то, гдеи- введенные выше функции, а- обратная функция к.

В экономическом анализе в качестве функций полезности часто используются линейные, квадратичные, логарифмические: , функцииCES – с постоянной эластичностью замещения: . В отдельных случаях моделирование экономического поведения используются и функции полезности, включающие в качестве параметров, например, доход потребителя или какие-либо другие экономические характеристики рынка. Так, энтропийные функции полезности с линейным членом видасодержат в качестве параметров цены и могут применяться в моделях потребительского поведения при изменчивости цен. Целевая функция потребления конкретной группы потребителей может быть построена с помощью статистических процедур на основе данных о потребительском поведении – по данным бюджетных обследований:- соответственно вектор потребления (спроса), вектор цен и доход потребителя.

Практическое построение функции полезности всегда связано с использованием некоторых исходных предположений о ее форме. В случае функции полезности, зависящей от нескольких переменных, наиболее сильное упрощающее предположение состоит в том, что она сепарабельна. Однако такое предположение часто оказывается нереалистичным, так как не отражает возможных эффектов замещения одних факторов другими. Поэтому Кини Р. Л. и Райфа Х. ввели понятие мультипликативной функции полезности. Функция полезности называется мультипликативной, если существуют такие функции :, для которыхудовлетворяет наусловию

,

где - константы, связанные соотношением;. Предельный случай присоответствует аддитивному представлению функции. В предлагаемых процедурах выявления мультипликативной функции полезности сначала выбираются подходящие элементарные выражения для функций, а затем на основе анализа эффектов замещения оцениваются параметры.

При использовании эконометрических методов задается некоторое параметрическое представление для построения выявляемой функции полезности. Входящие в него параметры оцениваются с помощью соответствующих эконометрических моделей (например, регрессионных). Типичными примерами параметрических форм задания функции полезности являются квадратичные функции от нескольких переменных, функции вида , функции Хаутеккера(,).

Метод построения квадратичной функции полезности впервые был разработан в 1910-20-х годах основоположником математической теории потребления отечественным математиком Е. Е. Слуцким. Метод основывается на использовании информации о количественных значениях коэффициентов эластичности потребления по доходу и по ценам.

Слуцким было введено в экономический анализ соотношение (уравнение Слуцкого) между компенсированным изменением спроса (за счет роста дохода, компенсирующего рост цены) и суммой независимых изменений спроса за счет изменения цены и за счет изменения дохода:

. (5.2.)

Здесь - функция спроса на товар,- вектор цен,- доход. В левой части уравнения (5.2.) стоит компенсированное изменение спроса, в правой части – изменение за счет цены («эффект замещения») и за счет дохода («эффект дохода»). Было показано, что симметричность матрицы, называемой матрицей Слуцкого, является необходимым и достаточным условием существования строго выпуклой вверх, дважды непрерывно-дифференцируемой функции, такой, что функции спроса- оптимальные решения задачи (5.1.). Отечественный экономист А. А. Конюс в работах 1920-30-х годов обосновал важные свойства кривых безразличия.

Уравнение (5.2.) играет большую роль в анализе экономического поведения. В частности, из него следует, что если спрос на товар увеличивается с ростом дохода, то с ростом цены этого товара спрос на него должен падать (закон спроса). Можно также исследовать, например, как изменится спрос на товар при небольшом увеличении налога, приводящего к росту цены, когда получаемый дополнительно государством налог «возвращается» потребителю.

Развитием теории моделирования потребительских предпочтений являются модели трудовых предпочтений, и использования свободного времени. Примером простейшей функции предпочтения «абстрактного работника» может служить

,

Соизмеряющая по полезности «единичное» количество труда и его оплату (параметримеет смысл предельной величины труда работника,- коэффициент склонности к труду). Величинав этом случае может интерпретироваться как «свободное время». Можно считать, что используемые в разных моделях выбора функции полезности, как и вся математическая теория полезности, «вышли» из модели потребительского поведения.

Так, В. С. Войтинский определяющим мотивом считал внутреннюю склонность потребителя, его «волевое» стремление получить полезность. Оно выражается в готовности потребителя принести известные жертвы ради обладания товаром. Величина полезности с этой точки зрения измеряется «денежными жертвами» потребителя. Она всегда сугубо субъективна, ибо полезности товаров для разных лиц не являются однородными величинами: они изменяются от товара к товару, о потребителя к потребителю. Математически полезность товара выражается в виде функции его количества . Значении этой функции возрастает с ростом количества благ, т.е. первая производная этой функции положительна. Войтинский вводит в эту функцию два переменных параметра: показатель убыли полезностей последовательных единиц товара для потребителя и показатель основной полезности товара. Оба эти параметра характеризуют шкалу полезностей данного товара. В результате предельная полезность товара выражается формулой:, а полная полезность - соответственно интегралом, где- показатель основной полезности товара,- количество товаров, входящих в бюджет потребителя,- показатель убыли полезности последовательных единиц товара ().

Тем самым полезность определяется не предельной полезностью вообще, а предельной полезностью «по бюджету потребителя». Наибольшую сумму полезностей по своему бюджету потребитель получит тогда, когда предельные полезности всех товаров по его бюджету равны. Войтинский дал математическое доказательство закона равенства предельных эффективностей потребления по бюджету, только при котором достигается устойчивость потребительского бюджета, а потребитель получает максимум удовлетворения. Функция полезности тем самым тесно связана с движением цен и денежных доходов потребителя.

Наиболее полное доказательство устойчивости потребительского бюджета и условий достижения максимума функции полезности было дано Е. Е. Слуцким. Он показал, что полезность какого-либо сочетания благ имеет тем большую величину, чем в большей мере данное сочетание оказывается предпочтительным для рассматриваемого индивида. Функция полезности тем самым предстала как функция предпочтения, зависящая от движения цен и денежных доходов потребителя. При такой постановке вопроса анализ функции полезности сводится не к определению ее абсолютного уровня, а к анализу изменения поверхностей ее уровня. Только движение уровней в том или ином направлении позволяет учесть информацию, которую несет эта функция. В соответствии с вышесказанным функция полезности получает вид: , где- количество различных благ, потребляемых субъектом за данный интервал времени, а- полезность, получаемая субъектом при посредстве данного сочетания благ. Предельная полезность какого-либо блага выразится в формуле частной производной, которая всегда будет положительной.

При анализе бюджета потребителя Слуцкий исходит из уравнения:

,

где - доход индивида,- цена блага, которое он купил,- купленные им количества продуктов. Задача сводится к тому, чтобы найти производные объемов потребляемых благ по ценам и доходу, т.е. определить через коэффициенты эластичности спроса первые и вторые производные функции полезности при указанном выше ограничении.

Основной вывод Слуцкого в анализе спроса можно представить в следующей форме. Если через обозначить количество продуктов,- сумму спроса,- цены (),- величину дохода, то при данном направлении изменения цендля поддержания равновесия компенсирующее изменение доходасоставит:

.

В таком случае изменения спроса примут вид:

или

.

Здесь ясно выражены зависимости колебаний спроса для компенсирования изменений цены (выражение в скобках – эффект замещения).

Позднее было подтверждено основное правило устойчивости бюджета: потребитель получит максимум удовлетворения, когда соотношение цен станет равным соотношению предельных полезностей каждый двух товаров, входящих в бюджет потребителя. Идеи Слуцкого развивали Р. Ален, Д. Р. Хикс, Дж. Дербе, Д. Хауттакер, П. Самюэлсон и другие, из отечественных экономистов 0 В. М. Немчинов, В. В. Новожилов, В. А. Волконский, А. А. Конюс, А. Л. Вайнштейн и другие.