§ 15. Характеристики суммы случайных функций

Пусть Х(t) и Y(t)—случайные функции. Найдем характеристики суммы этих функций по известным характеристикам слагаемых.

Теорема 1. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых:

если

Z(t)=X(t)+Y(t),

то

m_z(t)=m_x(t)+m_y(t).

Эта теорема уже была приведена ранее (см. § 5, свойство 3); здесь она помещена для систематизации изложения. Методом математической индукции теорему можно обобщить на п слагаемых.

Следствие. Математическое ожидание суммы случайной функции Х(t) и случайной величины Y равно сумме их математических ожиданий:

если

Z(t)=X(t)+Y,

то

m_z(t)=m_x(t)+m_y(t).

Замечание 1. Центрированная функция суммы случайных функций равна сумме центрированных слагаемых:

если

Z(t)=X(t)+Y(t),

то

Действительно,

Z(t)-m_z(t)=[X(t)+Y(t)] - [m_x(t)+m_y(t)]=[X(t)-m_x(t)]+[Y(t) - m_y(t)].

Отсюда

Теорема 2. Корреляционная функция суммы двух коррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых и взаимной корреляционной функции, которая прибавляется дважды (с разным порядком следования аргументов):

если

Z(t)=X(t)+Y(t),

то

К_z(t₁,t₂)= К_x(t₁,t₂)+ К_y(t₁,t₂)+ R_xy(t₁,t₂)+ R_xy(t₂,t₁).

Доказательство. По определению корреляционной функции,

К_z(t₁,t₂)=M[(t₁) (t₂)]

В силу замечания 1

Следовательно,

(t₁) (t₂)= M[(t₁)(t₁)]+ M[(t₂)(t₂)].

Выполнив умножение, приравняем математические ожидания обеих частей равенства:

M[(t₁) (t₂)]= [(t₁)(t₂)]+M[(t₁)(t₂)]+ M[(t₁)(t₂)]+ M[(t₁)(t₂)].

По определению корреляционной и взаимной корреляционной функций имеем

К_z(t₁,t₂)= К_x(t₁,t₂)+ К_y(t₁,t₂)+ R_xy(t₁,t₂)+ R_xy(t₁,t₂).

Учитывая, что R_yx(t₁ t₂)=R_xy(t₁,t₂) (см. §13, свойство 1), окончательно получим

К_z(t₁,t₂)= К_x(t₁,t₂)+ К_y(t₁,t₂)+ R_xy(t₁,t₂)+ R_xy(t₂,t₁). (*)

Методом математической индукции теорему можно обобщить на п попарно коррелированных случайных функций:

если

то

где индексы i, j второго слагаемого есть размещения чисел 1,2, ..., п, взятых по два.

Следствие 1. Корреляционная функция суммы двух некоррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых:

если

Z(t)=X(t)+Y(t),

то

К_z(t₁,t₂)= К_x(t₁,t₂)+ К_y(t₁,t₂).

Доказательство. Так как функции X(t) и Y(t) не коррелированы, то их взаимные корреляционные функции равны нулю. Следовательно, соотношение (*) примет вид

К_z(t₁,t₂)= К_x(t₁,t₂)+ К_y(t₁,t₂).

Методом математической индукции следствие можно обобщить на п попарно некоррелированных функций.

Замечание 2. В частности, при равных значениях аргументов t₁=t₂=t получим К_z(t,t)=К_x(t,t)+К_y(t,t),

или

D_z(t)=D_x(t)+D_y(t).

Итак, дисперсия суммы двух некоррелированных случайных функций равна сумме дисперсий слагаемых.

Следствие 2. Корреляционная функция случайной функции Х (t) и некоррелированной с ней случайной величины Y равна сумме корреляционной функции случайной функции и дисперсии случайной величины:

если

Z(t)=X(t)+Y,

то

К_z(t₁,t₂)= К_x(t₁,t₂)+D_y.

Пояснение. Случайную величину Y можно считать случайной функцией, не изменяющейся при изменении аргумента t: Y(t)=Y при всех значениях t. Тогда Y(t)=Y и, следовательно,

К_у(t₁,t₂)=М[]=М [²]=D_y.

Пример. Заданы случайные функции Х(t)=tU, Y(t)=tU, где U и V—некоррелированные случайные величины, причем М(U)=3, M(V)=6, D(U)= 0,2, D(V)=5. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z (t)=X (t)+У(t).

Решение, а) Найдем математическое ожидание суммы заданных функций. По теореме 1

m_z(t)=m_x(t)+m_y(t)=M(tU)+M(t²V)=tM(U)+t²M(V)=3t+6t².

б) Найдем корреляционную функцию суммы Z(t). Так как случайные величины U и V не коррелированы, то их корреляционный момент равен нулю:

M[(U—3)(V—6)]=0.

Следовательно, взаимная корреляционная функция

R_xy(t₁,t₂)= M[(t₁) (t₂)]= t₁t₂²M[(U—3)(V—6)]=0,

а значит, функции Х(t) и Y(t) не коррелированы. Поэтому искомая корреляционная функция в силу следствия 1

К_z(t₁,t₂)= К_x(t₁,t₂)+ К_y(t₁,t₂).

Выполнив выкладки, окончательно получим

К_z(t₁,t₂)=0,2t₁t₂+0,5t₁²t₂².

в) Найдем искомую дисперсию:

D_z(t)=Kz(t,t)=0,2t²+5t⁴.