§ 18. Комплексные случайные величины и их числовые характеристики

В дальнейшем кроме действительных рассматриваются и комплексные случайные функции. Эти функции и их характеристики определяют по аналогии с комплексными случайными величинами, поэтому начнем изложение с комплексных величин.

Комплексной случайной величиной называют величину Z=X+Yi, где Х и У—действительные случайные величины.

Сопряженной случайной величине Z=X+Yi называют случайную величину =X—Yi.

Обобщим определения математического ожидания и дисперсии на комплексные случайные величины так, чтобы, в частности, при Y=0 эти характеристики совпали с ранее введенными характеристиками действительных случайных величин, т. е. чтобы выполнялись требования:

m_z=m_x

D_z=D_x

Математическим ожиданием комплексной случайной величины Z =Х +Yi называют комплексное число

m_z=m_x+m_yi

В частности, при Y=0 получим т_z=т_x, т. е требование (*) выполняется.

Дисперсией комплексной случайной величины Z называют математическое ожидание квадрата модуля центрированной величины Z:

D_z=M

В частности, при Y=0 получим D_z=M т. е. требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

D_z=M

Итак, дисперсия комплексной случайной величины равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

D_z=D_x+D_y.

Известно, что корреляционный момент двух равных случайных величин X1=X2=Х равен дисперсии D_x — положительному действительному числу. Обобщим определение корреляционного момента так, чтобы, в частности, корреляционный момент двух равных комплексных случайных величин Z₁=Z₂=Z был равен дисперсии D_z — положительному действительному числу, т. е. чтобы выполнялось требование

μ_zz=D_z. (***)

Корреляционным моментом двух комплексных случайных величин называют математическое ожидание произведения отклонения одной из величин на сопряженное отклонение другой:

В частности, Z₁=Z₂=Z, учитывая, что произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату их модуля, получим

т. е. требование (***) выполняется.

Корреляционный момент комплексных случайных величин Z₁=Х₁+Y₁i и Z₂=Х₂+Y₂i выражается через корреляционные моменты действительных и мнимых частей этих величин следующей формулой:

(****)

Рекомендуем вывести эту формулу самостоятельно.

§ 19. Комплексные случайные функции и их характеристики

Комплексной слуюйной функцией называют функцию

Z(t)=X(t)+Y(t)i,

где Х(t) и Y(t)—действительные случайные функции действительного аргумента t.

Обобщим определения математического ожидания и дисперсии на комплексные случайные функции так, чтобы, в частности, при Y=0 эти характеристики совпали с ранее введенными характеристиками для действительных случайных функций, т. е. чтобы выполнялись требования:

m_z(t)=m_x(t) (*)

D_z(t)=D_x(t) (**)

Математическим, ожиданием, комплексной случайной функции Z(t)=Х(t)+Y(t)i называют комплексную функцию (неслучайную)

m_z(t)=m_x(t)+m_y(t)i.

В частности, при Y=0 получим т_z(t)=т_x(t), т.е. требование (*) выполняется.

Дисперсией комплексной случайной функции Z(t) называют математическое ожидание квадрата модуля центрированной функции Z(t):

D_z(t)=M[|(t)|²].

В частности, при Y==0 получим D_z(t)= M[|(t)|] ²=D_x(t), т. е. требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

D_z(t)=M[|(t)|²]= M{[(t)] ²+[(t)²]}= M[(t)] ²+M[(t)²]= D_x(t)+D_y(t).

Итак, дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

D_z(t)=D_x(t)+D_y(t).

Известно, что корреляционная функция действительной случайной функции Х(t) при разных значениях аргументов равна дисперсии D_x(t). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные функции Z(t) так, чтобы при равных значениях аргументов t₁=t₂=t корреляционная функция K_z(t, t) была равна дисперсии D_z(t), т. е. чтобы выполнялось требование

K_z(t, t)=D_z(t). (***)

Корреляционной функцией комплексной случайной функции Z(t) называют корреляционный момент сечений (t₁) и (t₂)

K_z(t₁, t₂)= M[].

В частности, при равных значениях аргументов

K_z(t, t)= M[]=M[||²]= D_z(t).

т. е. требование (***) выполняется.

Если действительные случайные функции Х(t) и Y(t) коррелированы, то

K_z(t₁, t₂)= K_x(t₁, t₂)+K_y(t₁, t₂)+[R_xy(t₂,t₁)]+[ R_xy(t₁,t₁)].

если Х(t) и Y(t) не коррелированы, то

K_z(t₁, t₂)= K_x(t₁, t₂)+K_y(t₁, t₂).

Рекомендуем убедиться в справедливости этих формул, используя соотношение (****) предыдущего параграфа.

Обобщим определение взаимной корреляционной функции на комплексные случайные функции Z₁(t)=Х₁(t)+ Y₁(t)i и Z₂(t)=Х₂(t)+ Y₂(t)i так, чтобы, в частности, при Y₁=Y₂=0 выполнялось требование

(****)

Взаимной корреляционной функцией двух комплексных случайных функций называют функцию (неслучайную)

В частности, при Y₁=Y₂=0 получим

т. е. требование (****) выполняется.

Взаимная корреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корреляционные функции их действительных и мнимых частей следующей формулой:

Рекомендуем вывести эту формулу самостоятельно.

Задачи

1. Найти математическое ожидание случайных функций:

a) X(t)=Ut², где U—случайная величина, причем M(U)=5,

б) Х(t)=Ucos2t+Vt, где U и V—случайные величины, причем M(U)=3, M(V)=4.

Отв. а) m_x(t)=5t²; б) т_x(t)=3 cos2t+4t.

2. Задана корреляционная функция К_х(t₁,t₂) случайной функции X(t). Найти корреляционные функции случайных функций:

a) Y(t)=X(t)+t; б) Y(t)=(t+1)X(t); в) Y(t)=4X(t).

Отв. a) К_y(t₁,t₂)= К_х(t₁,t₂); б) К_y(t₁,t₂)=(t₁+1)(t₂+1) К_х(t₁,t₂); в) К_y(t₁,t₂)=16 К_x(t₁,t₂)=.

3. Задана дисперсия D_x(t) случайной функции Х(t). Найти дисперсию случайных функций: a) Y(t)=Х(t)+e^t б) Y(t)=tX(t).

Отв. a) D_y(t)=D_x(t); б) D_y(t)=t²D_x(t).

4. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции Х(t)=Usin2t, где U—случайная величина, причем M(U)=3, D(U)=6.

Отв. а)m_x(t) =3sin2t; б) К_х(t₁,t₂)= 6sin2t₁sin2t₂; в) D_x(t)=6sin²2t.

5. Найти нормированную корреляционную функцию случайной функции X(t), зная ее корреляционную функцию К_х(t₁,t₂)=3cos(t₂—t₁).

Отв. ρ_x(t₁,t₂)=cos(t₂-t₁).

6. Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) нормированную взаимную корреляционную функцию двух случайных функций X(t)=(t+1)U, и Y(t)=(t²+1)U, где U— случайная величина, причем D(U)=7.

Отв. a) R_xy(t₁,t₂)=7(t₁+l)(t₂²+l); б) ρ_xy(t₁,t₂)=1.

7. Заданы случайные функции Х(t)=(t—1)U и Y(t)=t²U, где U и V — некоррелированные случайные величины, причем M(U)=2, M(V)=3, D(U)=4, D(V)=5. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z(t)=X(t)+Y(t).

Указание. Убедиться, что взаимная корреляционная функция заданных случайных функций равна нулю и, следовательно, Х(t) и Y(t) не коррелированы.

Отв. а) m_z(t)=2(t - 1)+3t²; б) К_z(t₁,t₂)=4(t₁ - l)(t₂ - 1)+6t₁²t₂²; в) D_z(t)=4(t - 1)²+6t⁴.

8. Задано математическое ожидание m_x(t)=t²+1 случайной функции Х(t). Найти математическое ожидание ее производной.

Отв. .

9. Задано математическое ожидание m_x(t)=t²+3 случайной функции Х(t). Найти математическое ожидание случайной функции Y(t)=tХ'(t)+t³.

Отв. m_y(t)=t²(t+2).

10. Задана корреляционная функция К_х(t₁,t₂)= случайной функции X(t). Найти корреляционную функцию ее производной.

Отв. .

11. Задана корреляционная функция К_х(t₁,t₂)= случайной функции Х(t). Найти взаимные корреляционные функции:

a) б)

Отв. a) б).

12. Задано математическое ожидание m_x(t)=4t³ случайной функции Х(t). Найти математическое ожидание интеграла .

Отв. m_y(t)=t⁴.

13. Задана случайная функция Х(t)=Ucos²t, где U—случайная величина, причем M(U)=2. Найти математическое ожидание случайной функции .

Отв. т_у(t) =(t²+1)[t+(sin2t)/2].

14. Задана корреляционная функция К_x(t₁,t₂)=cosωt₁cosωt₂ случайной функции Х(t). Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию интеграла

Отв. a) D_y(t)=(sin²ωt)/ω².

15*. Задана случайная функция Х(t)=Ue^3tcos2t, где U—случайная величина, причем М(U)=5, D(U)=1. Найти: а) математическое ожидание, б) корреляционную функцию, в) дисперсию интеграла

Отв. а) m_x(t)=5е^3tcos2t;

в)

16. Задана корреляционная функция К_х(t₁,t₂)=t₁t₂² случайной функции Х(t). Найти взаимные корреляционные функции: a) R_xy(t₁,t₂); б) R_yx (t₁,t₂) случайных функций Х(t) и .

Отв. a) R_xy(t₁,t₂)=t₁t₂³/3; б) R_yx (t₁,t₂)=t₁²t₂²/2.

Глава двадцать четвертая

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ