§ 4. Нормированная спектральная плотность

Наряду со спектральной плотностью часто используют нормированную спектральную плотность.

Нормированной спектральной плотностью стационарной случайной функции Х(t) называют отношение спектральной плотности к дисперсии случайной функции:

Пример. Задана спектральная плотность s_x(ω)=5/(π (1+ω²)) стационарной случайной функции Х(t). Найти нормированную спектральную плотность.

Решение. Найдем дисперсию:

Найдем искомую нормированную спектральную плотность, для чего разделим заданную спектральную плотность на дисперсию D_x =5; в итоге получим

Нормированная спектральная плотность представима в виде косинус-преобразования Фурье нормированной корреляционной функции:

Действительно, чтобы получить эту формулу, достаточно разделить на D_x обе части соотношения (***) (см. § 3). В свою очередь, нормированная корреляционная функция выражается через нормированную спектральную плотность при помощи обратного преобразования Фурье:

В частности, положив τ=0 и учитывая, что ρ_x(0)=1,

получим

или

Геометрически этот результат означает, что площадь, ограниченная снизу осью Oω и сверху кривой , равна единице.

§ 5. Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций

Пусть X(t) и Y(t)—стационарные и стационарно связанные случайные функции со взаимной корреляционной функцией r_xy(τ).

Взаимной спектральной плотностью двух стационарных и стационарно связанных случайных функций Х(t) и Y(t) называют функцию s_xy(ω), определяемую преобразованием Фурье:

В свою очередь, взаимная корреляционная функция выражается через взаимную спектральную плотность с помощью обратного преобразования Фурье:

Пример. Задана корреляционная функция k_x(τ) стационарной случайной функции X(t). Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) взаимную спектральную плотность случайных функций X(t) и Y(t)=Х(t - t₀).

Решение. а) Легко убедиться, что Y(t)—стационарная функция. Найдем взаимную корреляционную функцию:

Отсюда видно, что стационарные функции Х(t) и Y (t) стационарно связаны (их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов τ).

б) Найдем взаимную спектральную плотность:

Итак, искомая взаимная спектральная плотность

§ 6. Дельта-функция

Дельта-функция δ(t) является примером обобщенной функции (обобщенная функция—предел последовательности однопараметрического семейства непрерывных функций). Дельта-функцию определяют тем условием, что она ставит в соответствие всякой непрерывной функции f(t) ее значение при t=0:

Правую часть равенства можно представить в виде предела:

(ε>0),

где

Таким образом, дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций δ_ε(t) при ε→0. Учитывая, что δ_ε(t)→0 при t≠0, δ_ε→∞ при t→0 и условно пишут

Физически дельта-функцию можно истолковать как плотность единичной массы, сосредоточенной в нуле.

Можно доказать, что дельта-функция представима интегралом Фурье:

Отсюда

Замечание. В приложениях часто используют соотношение,

которое вытекает из сказанного выше.