§ 5. Корреляционная функция производной стационарной случайной функции
Теорема.
Корреляционная
функция производной X'(t)=
дифференцируемой стационарной случайной
функции Х(t)
равна
второй производной от ее корреляционной
функции,
взятой со знаком минус:
.
Доказательство. Известно, что корреляционная функция производной любой дифференцируемой случайной функции равна второй смешанной производной от ее корреляционной функции (см. гл. XXIII, § 16, теорема 2):
'
По условию, X(t)—стационарная функция, поэтому ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов:
Из соотношения τ=t2-t1 следует, что
и
Учитывая равенства (*), получим
Видим, что искомая корреляционная функция зависит только от τ, поэтому
Итак,
Пример.
Задана, корреляционная функция kx(τ)=
стационарной случайной функции Х(t).
Найти: а) корреляционную функцию; б)
дисперсию производной X'(t)=
.
Решение, а) Продифференцировав дважды заданную корреляционную функцию и изменив знак результата на противоположный, найдем искомую корреляционную функцию:
б) Положив τ=0, получим искомую дисперсию:
§ 6. Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и ее производной
Теорема.
Взаимная
корреляционная функция дифференцируемой
стационарной случайной функции Х′(t)
и ее производной X'(t)=x
равна первой производной от корреляционной
функции kx(τ),
взятой
со своим (противоположным)
знаком,
если индекс
стоит
на втором(первом)
по порядку месте:
а)
б)
Предполагается, что τ=t2-t1
Доказательство. а) По Определению взаимной корреляционной функции,
Операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно переставить (см. гл. XXIII, § 16, замечание 1), поэтому
Так
как X(t)—стационарная
функция, то ее корреляционная функция
зависит только от разности аргументов:
где
τ=t2-t1
и,
следовательно,
Таким образом,
Правая часть
равенства зависит только от τ;
следовательно, и левая часть есть функция
от τ.
Обозначив ее через
окончательно получим
б) Доказывается аналогично.
Заметим, что
поскольку взаимная корреляционная
функция
зависит только от τ,
то
стационарная случайная функция и ее
производная стационарно связаны (см. §
4).
Пример.
Задана корреляционная функция
стационарной случайной функции X(t).
Найти взаимную корреляционную функцию
заданной случайной функции и ее
производной.
Решение. Воспользуемся формулой
а) Пусть τ≥0.
Тогда
|τ|=τ,
Таким образом,
при τ≥0
б)
Пусть τ<0.
Тогда |τ|=-τ,
.
Таким образом, при τ<0
Итак, искомая взаимная корреляционная функция
§ 7. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции
Теорема.
Корреляционная
функция интеграла
от стационарной случайной функции равна
Доказательство.
Известно, что корреляционная функция
интеграла
от
случайной функции Х(t)
равна двойному интегралу от ее
корреляционной функции (см. гл. XXIII, §
17, теорема 2):
Принимая во
внимание, что корреляционная функция
стационарной случайной функции зависит
только от разности аргументов, т. е.
получим
Вычисление этого интеграла весьма громоздко, поэтому ограничимся указаниями: перейти к новым переменным τ =s2 – s1, ξ=s2+s1;
Рис. 28
τ=-ξ+2t1и выполнить интегрирование по ξ. Двойной интеграл по области OABD можно вычислить как разность двойных интегралов по областям ОАС и BDC. При интегрировании по области ODE переставить пределы интегрирования по τ и перейти к новой
переменной τ' =- τ (рис. 28).
Следствие.
Дисперсия
интеграла
от
стационарной случайной функции равна
(**)
Действительно, положив t1=t2=t в формуле (*), получим
После приведения подобных членов окончательно имеем
Пример.
Задана корреляционная функция
kx(t)=l/(1+τ2)
стационарной случайной функции Х(t).
Найти дисперсию интеграла
Решение. Воспользуемся формулой (**);
Выполнив интегрирование, получим искомую дисперсию:
Dy(t)=2tarctg t — ln(1 + t2)•
Заметим, что функция Y(t) не стационарна, так как ее дисперсия не постоянна, а зависит от аргумента t.