§ 10. Свойства корреляционной функции

Свойство 1. При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется (свойство симметрии):

К_х(t₁,t₂)= К_х(t₂,t₁).

Доказательство. По определению корреляционной функции,

К_х(t₁,t₂)=M[(t₁) (t₂)].

К_х(t₂,t₁)=M[(t₂) (t₁)].

Правые части этих равенств равны (математическое ожидание произведения не зависит от порядка сомножителей), следовательно, равны и левые части. Итак,

К_х(t₁,t₂)= К_х(t₂,t₁).

Замечание 1. Прибавление к случайной функции X(t} неслучайного слагаемого φ(t) не изменяет ее центрированной функции:

если

Y(t)=Х(t)+φ(t),

то

(t)=(t)

Действительно, математическое ожидание функции Y(t)

m_y(t)=m_x(t)+φ(t).

Следовательно,

(t)=Y(t )-m_y(t)=[Х(t)+φ(t)] – [m_x(t)+φ(t)]= X(t )-m_x(t)=(t).

Итак,

(t)= (t).

Свойство 2. Прибавление к случайной функции Х(t) неслучайного слагаемого φ(t) не изменяет ее корреляционной функции:

если

Y(t)=X(t)+φ(t),

то

К_y(t₁,t₂)= К_х(t₁,t₂).

Доказательство. В силу замечания 1

(t)=(t)

Отсюда (t₁)=(t₁) и (t₂)=(t₂). Следовательно,

M[(t₁) (t₂)]= M[(t₁) (t₂)].

Итак,

К_y(t₁,t₂)= К_х(t₁,t₂).

Замечание 2. При умножении случайной функции Х(t) на неслучайный множитель φ(t) ее центрированная функция умножается на этот же множитель:

если

Y(t)=Х(t)+φ(t),

то

(t)=(t)φ(t)

Действительно, математическое ожидание функции Y(t)

т_у(t)=М[Х(t)φ(t)]=φ(t)m_x(t).

Следовательно,

(t)=Y(t)-m_y(t)= [Х(t)φ(t)] – [m_x(t)φ(t)]= φ(t)[X(t)-m_x(t)]= φ(t)(t)

Итак,

(t)=(t)φ(t)

Свойство 3. При умножении случайной функции Х(t) на неслучайный множитель φ(t) ее корреляционная функция умножается на произведение φ(t₁) φ(t₂):

если

(t)=(t)φ(t).

то

К_y(t₁,t₂)= К_х(t₁,t₂) φ(t₁) φ(t₂).

Доказательство. В силу замечания 2

(t)=(t)

Следовательно,

К_y(t₁,t₂)= M[(t₁) (t₂)]= M{[(t₁)φ(t₁)] [(t₂)φ(t₂)]}.

Вынесем неслучайные множители за знак математического ожидания:

К_y(t₁,t₂)= φ(t₁) φ(t₂) M[(t₁)(t₂)]= φ(t₁) φ(t₂)K_x(t₁,t₂)

Итак,

К_y(t₁,t₂)= K_x(t₁,t₂) φ(t₁) φ(t₂)

Свойство 4. Абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений:

.

Доказательство. Известно, что для модуля корреляционного момента двух случайных величин справедливо неравенство (см. гл. XIV, § 17, теорема 2)

.

При фиксированных значениях аргументов t₁ и t₂ значение корреляционной функции равно корреляционному моменту соответствующих сечений—случайных величин Х(t₁) и Х(t₂). Поэтому неравенство (*) можно записать так:

.

§ 11. Нормированная корреляционная функция

Известно, что для оценки степени линейной зависимости двух случайных величин пользуются коэффициентом корреляции (см. гл. XIV, § 17, соотношение (*))

r_xy=μ_xy/(σ_xσ_y).

В теории случайных функций аналогом этой характеристики служит нормированная корреляционная функция.

Очевидно, что каждой паре фиксированных значений t₁ и t₂ аргумента случайной функции Х(t) соответствует определенный коэффициент корреляции K_x(t₁,t₂)/σ_x(t₁)σ_x(t₂) соответствующих сечений—случайных величин Х(t₁) и X(t₂); это означает, что коэффициент корреляции случайной функции есть функция (неслучайная) двух независимых аргументов t₁ и t₂; ее обозначают через ρ_x (t_1,t₂).

Дадим теперь определение нормированной корреляционной функции.

Нормированной корреляционной функцией случайной функции Х(t) называют неслучайную функцию двух независимых переменных t₁ и t₂, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно коэффициенту корреляции сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:

(*)

Учитывая, что и ,получим

(*)

Таким образом, зная корреляционную функцию, можно найти нормированную корреляционную функцию.

Пример. Найти нормированную корреляционную функцию случайной функции Х(t) по ее известной корреляционной функции K_x(t₁,t₂)=5cos(t₂-t₁).

Решение. Искомая нормированная корреляционная функция

Нормированная корреляционная функция имеет те же свойства, что и корреляционная функция (см. § 10), причем свойство 4 заменяется на следующее: абсолютная величина нормированной корреляционной функции не превышает единицы:

Это свойство следует из того, что при фиксированных значениях аргументов значение нормированной корреляционной функции равно коэффициенту корреляции двух случайных величин—соответствующих сечений, а абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы (см. гл. XIV, § 17, замечание 3).

Легко видеть из (*) или (**), что при равных значениях аргументов нормированная корреляционная функция равна единице:

Очевидно, нормированная корреляционная функция имеет тот же вероятностный смысл, что и коэффициент корреляции: чем ближе модуль этой функции к единице, тем линейная связь между сечениями сильнее; чем ближе модуль этой функции к нулю, тем эта связь слабее.