§ 2. Дискретный спектр стационарной случайной функции

А. Частоты—произвольные числа, количество их конечно.

Пусть стационарная случайная функция X(t) может быть представлена в виде спектрального разложения

причем сохраняются допущения, указанные в начале п. 2 (см. § 1). Найдем дисперсию одной гармоники Х_i(t), учитывая, что случайные величины U_i и V_i, не коррелированы и дисперсии величин с одинаковыми индексами равны между собой: D(U_i)=D(V_i) =D_i:

D[X_i(t)]=D[U_icosω_it + V_isinω_it]=D[U_icosω_it]+D[V_isinω_it]=cos²ω_itD(U_i)+sin²ω_itD(V_i)=

=(cos²ω_it+sin²ω_it)D_i=D_i.

Итак,

D[X_i(t)]= D_i. (**)

Таким образом, дисперсия i-й гармоники спектрального разложения (*) равна дисперсии случайной величины U_i или, что то же, дисперсии случайной величины V_i.

Найдем теперь дисперсию стационарной случайной функции Х(t), приняв во внимание, что слагаемые X_i(t) не коррелированы (см. § 1) и поэтому дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых (см. гл. XXIII, § 15, замечание 2):

Используя (**), окончательно получим

Итак, дисперсия стационарной случайной функции, которая может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник с произвольными частотами, равна сумме дисперсий составляющих ее гармоник.

Дискретным спектром стационарной случайной функции Х(t) вида (*) называют совокупность дисперсий всех составляющих ее гармоник.

Заметим, что поскольку каждой частоте ω_i, можно поставить в соответствие дисперсию D_i, то спектр можно изобразить графически: на горизонтальной оси откладывают частоты ω_i, а в качестве соответствующих ординат (их называют спектральными линиями) строят дисперсии D_i. Этот дискретный спектр называют линейчатым.

Пример. Построить дискретный спектр стационарной случайной функции

X(t)=[U₁cos2t+V₁sin2t]+[U₂cos3t+Vsin₂3t]+[U₃cos4t+V₃sin4t],

если случайные величины U₁,U_2,U₃; V₁,V₂,V₂не коррелированы, их математические ожидания равны нулю и заданы дисперсии:D(U₁)=D(V₁)=5,D(U₂)=D(V₂)=6, D(U₃)=D(V₃)=4.

Решение. Отложив на горизонтальной оси частоты ω₁=2, ω₂=3, ω₃=4, а на вертикальной оси—соответствующие им ординаты D₁=5, D₂=6, D₃=4, получим график искомого спектра.

Б. Равноотстоящие частоты, множество их бесконечное (счетное). В предыдущем пункте предполагалось, что число частот в спектральном разложении (*) конечно, а сами частоты—произвольные числа. Теперь рассмотрим спектральное разложение вида

в котором число частот бесконечно (счетно), они равноотстоящие, причем разность любых двух «соседних» частот

Δω=ω_i+1 - ω_i=π/t ( i = 1, 2, …),

где Т—действительное положительное число.

Таким образом,

…,

Напишем корреляционную функцию [см. § 1, формула (***)] рассматриваемой стационарной случайной функции Х(t), положив ω_i=π_i/T n=∞:

(*)

При τ=0, учитывая, что k_x(0)=D_x, получим

(**)

Итак, дисперсия стационарной случайной функции, которая может быть представлена в виде суммы бесконечного (счетного) множества гармоник с равноотстоящими частотами, равна сумме дисперсий слагаемых гармоник (если сумма существует, т. е. ряд (**) сходится).

Заметим, что соотношение (*) можно рассматривать как разложение корреляционной функции в ряд Фурье по косинусам. Из (*) видно, что k_x(τ)—периодическая функция с периодом 2Т, поэтому коэффициенты Фурье

или, учитывая, что ω_i=πi/Т и подынтегральная функция - четная,

Если каждой частоте ω_i=πi/T (i=1, 2, ...) ставить в соответствие дисперсию D_i, то получим, как и в случае конечного числа произвольных частот, дискретный линейчатый спектр, причем число спектральных линий (ординат D_i) бесконечно (счетно) и они равноотстоящие (соседние спектральные линии находятся одна от другой на одном и том же расстоянии Δω=π/T).