§ 3. Корреляционная теория случайных функций

Как известно, при фиксированном значении аргумента случайная функция является случайной величиной. Для задания этой величины достаточно задать закон ее распределения, в частности одномерную плотность вероятности. Например, случайную величину Х₁=Х(t₁) можно задать плотностью вероятности f(x₁); в теории случайных функций ее обозначают через f₁(x₁;t₁); здесь индекс 1 при f указывает, что плотность вероятности одномерная, t₁—фиксированное значение аргумента t, x₁—возможное значение случайной величины Х₁=Х(t₁). Аналогично, через f₁(x₂;t₂), f₁(x₃;t₃) и т. д. обозначают одномерные плотности вероятности сечений X₂=X(t₂), Х₃=Х(t₃) и т.д. Одномерную плотность вероятности любого сечения обозначают через f₁(x; t), подразумевая, что аргумент t принимает все допустимые значения. Например, если случайная функция Х(t) распределена нормально с параметрами m_x(t)=4, σ_x(t)=3, то

Хотя функция f₁(х;t) полностью характеризует каждое отдельно взятое сечение, нельзя сказать, что она полностью описывает и саму случайную функцию. (Исключением является случай, когда любой набор сечений образует систему независимых случайных величин.) Например, зная лишь одномерную функцию распределения сечения, невозможно выполнять над случайной функцией операции, требующие совместного рассмотрения совокупности сечений.

В простейшем случае совместно рассматривают два сечения: X₁=X(t₁) и X₂=X(t₂), т.е. изучают систему двух случайных величин (X₁, Х₂). Известно, что эту систему можно задать двумерным законом распределения, в частности двумерной плотностью вероятности f(х₁, х₂). В теории случайных функций ее обозначают через f₂(x₁, x₂ ; t₁,t₂); здесь индекс 2 при f указывает, что плотность вероятности двумерная; t₁ и t₂—значения аргумента t; х₁, х₂—возможные значения случайных величин, соответственно X₁=X(t₁) и X₂=X(t₂).

Хотя двумерный закон распределения описывает случайную функцию более полно, чем одномерный (по известному двумерному можно найти одномерный закон), он не характеризует случайную функцию исчерпывающим образом (исключением являются случаи, когда случайная функция распределена нормально или представляет собой марковский случайный процесс).

Аналогично обстоит дело и при переходе к трехмерным, четырехмерным распределениям и т. д. Поскольку такой способ изучения случайных функций является, вообще говоря, громоздким, часто идут по другому пути, не требующему знания многомерных законов распределения, а именно изучают моменты, причем ограничиваются моментами первых двух порядков.

Корреляционной теорией случайных функций называют теорию, основанную на изучении моментов первого и второго порядка. Эта теория оказывается достаточной для решения многих задач практики.

В отличие от случайных величин, для которых моменты являются числами и поэтому их называют числовыми характеристиками, моменты случайной функции являются неслучайными функциями (их называют характеристиками случайной функции).

Ниже рассматриваются следующие характеристики случайной функции: математическое ожидание (начальный момент первого порядка), дисперсия (центральный момент второго порядка), корреляционная функция (корреляционный момент).