- •Московский энергетический институт
- •Москва Издательство мэи 2005
- •Количественные методы в финансовом анализе
- •Предисловие
- •Темы для подготовки к экзамену по курсу «финансовая математика»
- •1. Простые проценты
- •2. Дисконтирование
- •3. Сложные проценты
- •3.1. Номинальная процентная ставка
- •3.2. Эффективная процентная ставка
- •3.3. Непрерывное начисление процентов
- •Учет инфляции
- •Финансовые ренты
- •Обычная годовая рента
- •5.2. Приведенная рента
- •Отложенная рента
- •5.4. Годовая рента при начисление процентов m раз в году
- •5.6. Вечная рента
- •5.7. Объединение и замена рент
- •Погашение долга (кредита)
- •. Погашение долга равными срочными уплатами
- •6.2. Планирование страхового (погасительного) фонда
- •6.3. Погашение ипотечной ссуды
- •7. Консолидация и замена платежей
- •8. Анализ эффективности инвестиционных процессов
- •8.1. Модель дискретного потока платежей
- •8.2. Модель непрерывного потока платежей
- •8.3. Показатели эффективности инвестиций
- •Контрольное задание
Финансовые ренты
Обычная годовая рента
Финансовые операции часто предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Примером могут служить погашение займа, арендная плата и т.д. Такие последовательности платежей называют потоком платежей.
Пусть финансовая операция по договору начинается в момент t0, а заканчивается в момент tn . Выплаты Rk (k = 1,2,..,n) происходят в моменты tk . Обычно полагают t0 = 0 (рис. 1).
Финансовой рентой называется последовательность периодических выплат Rk , R k > 0 , осуществляемых через равные промежутки времени.
Выплаты Rk называют членами ренты. Если все выплаты одинаковы, т.е. Rk = R , то рента называется постоянной.
Пусть d - период ренты, а n - число выплат, тогда произведение периода на число выплат nd представляет собой календарный срок ренты. Если выплата производится в конце каждого периода (рис. 1), то рента называется обычной, а если в начале периода, то приведенной (рис. 2).
Выбирая базовую единицу времени, зададим процентную ставку ренты (сложную). Найдем наращенную сумму S обычной годовой ренты, состоящей из n выплат, т.е. сумму всех членов потока платежей с начисленными на них процентами к концу срока. Для этого рассмотрим конкретную задачу. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых (рис. 3).
Наращенная сумма S состоит из n слагаемых. Именно
S = R + R( 1 + i ) + R( 1 + i )2 + ...+ R( 1 + i )n-1
Справа стоит сумма n членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем 1 + i. По формуле суммы геометрической прогрессии получим
(16)
Выражение обозначается символомs(n;i) и называется коэффициентом наращения обычной ренты. Формулу (16) можно переписать в виде
S = R × s(n; i)
Современной стоимостью ренты A называется сумма всех членов ренты, дисконтированных на начало срока ренты. Из условия эквивалентности для текущего и наращенного значения обычной ренты находим современное значение ренты А:
S = A( 1 + i )n или A = S( 1 + i )-n .
Таким образом,
. (17)
Выражение обозначается символомa(n;i) и называется дисконтирующим множителем обычной ренты или коэффициентом приведения ренты. Таким образом, современное значение ренты
A = R × a(n; i) .
Пример. Найдите текущее и наращенное значение ренты с выплатами по 320 тыс. руб. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 24 % годовых.
Решение. Эффективная ставка за месяц равна 24 %:12 = 2 % Текущее значение вычисляется по формуле (17):
A = 320 = 6052, 4619 тыс. руб.
Наращенное значение вычисляется по формуле (14):
S = = 9734,9952 тыс. руб.
Пример. Фирма приняла решение о создании инвестиционного фонда. С этой целью в течение 5 лет в конце каждого года в банк вносится 100 тыс. руб. под 20 % годовых с последующей их капитализацией, т.е. прибавлением к уже накопленной сумме. Найдите сумму инвестиционного фонда.
Решение. Здесь рассматривается обычная годовая рента с ежегодными платежами R = 100 тыс. руб. в течение n = 5 лет. Процентная ставка i = 20%. Из формулы (16) находим:
S = 100 = 744,160 тыс. руб.