3. Сложные проценты

В отличие от простых процентов, база для начисления сложных процентов будет увеличиваться с каждым периодом начисления.

Если положить в банк сумму P и банк выплачивает сложные проценты по годовой ставке i, то через год сумма будет равна

S₁ = P + I = P + iP = P (1+ i),

где I = iP – процент, начисленный за первый год. В конце второго года вкладчик получит сумму:

S₂ = P+Pi+(P+Pi) i = P (1+ i)².

Присоединение начисленных процентов к их базовой сумме называется капитализацией процентов.

Несложно понять, что через n лет вкладчик получит сумму

S_n = P ( 1+ i )ⁿ. ( 8)

Формула (8) называется формулой сложных процентов. В общем случае в формуле (8) n - число периодов начисления (n может быть и нецелым), i - ставка за период. Величина (1 + i)ⁿ называется коэффициентом наращения.

Пример. Депозит в размере 500 тыс. руб. положен в банк на 3 года. Определите сумму начисленных процентов по простой и сложной ставках, если годовая ставка составляет 80 %.

Решение. По простой ставке I = P ·n ·i = 500 ·3 · 0,8 = 1200 тыс. руб.

По сложной ставке I = P[( 1+ i )ⁿ - 1] = 500 [(1+ 0,8)³ - 1] = 2416 тыс. руб.

Пример. Сберегательный банк начисляет ежегодно 8 % сложных. Клиент положил в банк 20 000 руб. Какая сумма будет на счету клиента через 6 лет и три месяца?

Решение. По формуле (8), где n = 6,25, P = 20 000, находим:

S = 20 000(1+0,08)^6,25 = 32 354,04 руб.

При дробном числе лет можно применять смешанный метод, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и по формуле простых процентов за дробную часть периода, т. е.

S_n = P ( 1+ i )^a ( 1 + i· b), ( 9 )

где a - целое число периодов (лет), b - дробная часть периода (года).

В качестве иллюстрации этой формулы используем предыдущий пример. Имеем:

S = 20 000 (1+ 0,08)⁶ (1 + 0,25 ·0,08) = 32 372,24 руб.

3.1. Номинальная процентная ставка

Сложные проценты могут начисляться несколько раз в году

( например, по месяцам, по кварталам, по полугодиям ). Для рассмотрения этого случая введем понятие номинальной ставки.

Номинальная ставка - это годовая ставка, проценты по которой начисляются m раз в году (m > 1). Обозначим ее через j . Следовательно, за один период проценты начисляются по ставке j / m.

Пример. Если по номинальной ставке j = 20 % происходит начисление 4 раза в год, то ставка за один период (квартал ) будет равна

20 % : 4 = 5%.

Формулу (8) теперь можно представить следующим образом:

S = P ( 1 + j / m ) ^N, (10)

где N - общее количество периодов начисления, N= m×t, t - количество лет. С ростом частоты m начислений в году коэффициент наращения и, следовательно, абсолютный годовой доход растут.

3.2. Эффективная процентная ставка

Для сравнения реального относительного дохода за год при начислении процентов один и m раз, введем понятие эффективной ставки процентов.

Эффективная годовая ставка процентов i_эф - это ставка, измеряющая реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов, т. е. i_эф - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке за период i = j/ m .

Эффективная ставка находится из условия равенства двух соответствующих коэффициентов наращения за один год:

1 + i_эф = ( 1 + j / m ) ^m.

Отсюда следует, что

i_эф = ( 1 + j / m ) ^m - 1 (11)

Пример. Определите эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j=18 %, при ежеквартальном начислении процентов (m=4).

Решение. Из формулы (11) получаем:

i_эф = ( 1 + 0,18 / 4 )⁴ - 1 = 0, 1925 ( или 19, 25 %).

Пример. Найдите эффективную ставку, если номинальная ставка равна 25 % при ежемесячном начислении процентов.

Решение. i_эф = ( 1 + 0,25 / 12 )¹² - 1 = 0,2807 или 28,07 %.

Для сторон в сделке безразлично, применить ставку 25 % (при помесячном начислении) или годовую ставку 28,07 %.

Пример. Найдите номинальную процентную ставку, проценты по которой начисляются по полугодиям, эквивалентную номинальной ставке 24% с ежемесячным начислением процентов.

Решение. Пусть j₂ - процентная ставка, соответствующая начислению по полугодиям, j₁₂ - по месяцам.

Из равенства коэффициентов наращения получаем:

( 1 + j₂ / 2 )² = ( 1 + j₁₂ / 12 )¹²,

отсюда

1 + j₂ / 2 = ( 1 + j₁₂ / 12 )⁶ Þ j₂ = 2[( 1 + j₂ / 12 )⁶ - 1] =

= 2 [( 1 + 0,24/12)⁶ - 1 ] = 0,25 или j₂= 25 %.