Темы для подготовки к экзамену по курсу «финансовая математика»

1. Основное уравнение процентной ставки. Простые проценты. Формула простых процентов.

2. Учетная ставка. Математическое и банковское дисконтирование.

3. Реинвестирование.

4. Сложная процентная ставка. Формула сложных процентов. Вычисление наращенной суммы смешанным методом.

5. Дисконтирование по простым и сложным процентам.

6. Наращенная сумма при начислении процентов m (m > 1) раз в году.

7. Номинальная и эффективная процентные ставки.

8. Сравнение простых и сложных процентов.

9. Учет инфляции. Индекс цен. Темп инфляции. Индекс покупательной способности денег.

10. Брутто – ставка (инфляционная ставка). Определение и вывод.

11. Принцип финансовой эквивалентности. Понятие потока платежей. Эквивалентные потоки платежей, эквивалентное значение для потока платежей.

12. Эквивалентность процентных ставок.

13. Консолидация платежей.

14. Изменение условий коммерческих сделок на основе принципа финансовой эквивалентности.

15. Финансовые ренты. Классификация и параметры рент.

16. Годовая обычная рента. Современное и наращенное значение и их расчет.

17. Годовая рента при начислении процентов m раз в году.

18. P - срочная рента. Современное и наращенное значение.

19. (p,m) – рента. Современное и наращенное значение.

20. Приведенная, отложенная ренты и их современное и наращенное значение.

21. Погашение долга единовременным платежом.

22. Погашение долга равными срочными уплатами. Планирование фонда погашения долга.

23. Модель детерминированного потока платежей в инвестиционном процессе.

24. Современная стоимость (PV) потока платежей.

25. Чистая современная стоимость (NPV) потока платежей.

26. Модель непрерывного потока платежей.

27. Показатели эффективности инвестиционного проекта: ставка сравнения, чистая текущая стоимость (чистый приведенный доход), срок окупаемости инвестиционного проекта, внутренняя норма доходности, индекс рентабельности (рентабельность).

28. Расчет срока окупаемости, учитывающего фактор времени (на конкретном примере).

29. Выбор инвестиционного проекта с помощью его показателей эффективности.

30. Финансовые операции с продажей контрактов.

31. Выбор оптимального контракта для покупателя.

32. Доходность контракта для кредитора.

33. Портфель векселей (эффект продажи).

1. Простые проценты

Получая кредит в размере P рублей, заемщик обязан вернуть полученную денежную ссуду через точно оговоренный срок и уплатить ее в соответствии с установленным в договоре процентом, т. е. возвращаемая сумма S равна:

S = P + I

Сумма S называется наращенной, I - процент, т. е. плата за кредит.

П

роцентная ставка i определяется как относительное приращение суммы долга за единицу времени, т. е.

(1)

где n - срок ссуды. Процентная ставка i указывается до сотых долей процента. Отметим, что процентная ставка применяется не только как инструмент наращивания суммы долга, но и как измеритель степени доходности (эффективности) финансовой или кредитной операции.

Из формулы (1) получим, что наращенная сумма

S = P (1 + i×n) (2)

Это формула называется формулой простых процентов.

Пример. Кредит в сумме P = 100 тыс. руб. выдан на срок n = 2 года с условием возврата S=150 тыс. руб. Определите доходность данной финансовой операции т.е. процентную ставку.

Решение.

i = == 0,25 или i = 25 %,

т. е. доходность финансовой операции равна 25 %.

Пример. Фирма приобрела в банке вексель, по которому через год должна получить 5му через год должна получить 6о учебное пособие автора "00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 тыс. руб. В момент приобретения цена векселя составляла 40 тыс. руб. Определите доходность этой сделки.

Решение. И в этом случае доходность - это процентная ставка i.

i = (S-P) / P = 10/40 = 0,25 = 25%.

Если на последовательных интервалах времени n₁ и n₂ используются простые ставки процентов i₁ и i₂ , то сумма процентов, начисленных за эти два интервала, будет равна

I = I₁ + I₂ = n₁ i₁ P+ n₂ i₂× P = P(n₁ i₁ + n₂ i₂ ) (3)

Наращенная сумма за время n₁ + n₂ составит:

S = P + I = (1 + n₁ i₁ + n₂ i₂ ) (4)

Когда число временных интервалов не два, а больше, в общем случае N , то сумма процентов, начисленных за N интервалов будет равна:

I = I₁ + I₂ + .. + I_N = n₁× i₁× P+ n₂× i₂× P + ... + n_N× i_N× P

или

I = P (n₁ i₁ + n₂ i₂ +...+ n _N i _N ). (5)

Количество же слагаемых типа n_k i_k в формуле для вычисления наращенной суммы также увеличится - их будет ровно столько, сколько интервалов, т.е.

S = P + I = ( 1 + n₁ i₁ + n₂ i₂ + ...+ n_N i_N ). (6)

Пример. Процентная ставка банка по вкладам, составлявшая в начале года 12 % годовых, через полгода была уменьшена до 10% , а еще через три месяца - до 8% годовых. Определите сумму процентов за год на вклад в 100 тыс. руб.

Решение. По формуле (5), для N = 3, имеем:

I = 100 000 (0,5 × 0,12 + 0,25× 0,1 + 0,25× 004) = 9500 (руб.).

Если срок финансовой сделки выражается в днях, то n = t / K , где t - срок в днях, K =360 и формула (2) принимает вид:

S = P (1+ i × t / K)

Задачи

1. Годовая ставка простых процентов равна 10,5 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится? Решите задачу в общем виде, т.е. процентную ставку принять равной i.

1.2. Фирма получила в банке ссуду в размере 2 млн руб. под 50 % годовых на срок с 15 февраля до 15 апреля (год не високосный). Определите возвращаемую сумму. Ответ: 2,164 млн руб.

3. Выдан в кредит 5 млн руб на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10 % в месяц. Найдите наращенное значение долга в конце каждого месяца. Покажите, что получившиеся суммы образуют арифметическую прогрессию.

4. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов: а) за первый квартал - 20 % годовых, за второй квартал - 25 % годовых, за третий квартал - 22 % годовых;

б) за первый квартал - 10 % ежемесячно, за второй и третий кварталы-20 % ежемесячно, за четвертый квартал - 30 % ежемесячно.

Определите коэффициент наращения за год в каждом из двух вариантов.

3. На некоторую сумму ежемесячно в течение квартала начисляются простые проценты по ставке 9 % в первый месяц, 10 % - во второй, 11 % - в третий. Определите коэффициент наращения за квартал при реинвестировании. (Операция, при которой в момент каждого изменения ставки, наращенная к этому моменту сумма вкладывается вновь под простой процент, называется реинвестированием). Ответ: 1,319

4. Определите коэффициент наращения в предыдущей задаче без реинвестирования. Ответ: 1,30.