РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Сборник задач

Автор-составитель С. Б. Кузнецов

НОВОСИБИРСК 2005

Тема 1

ОПЕРАЦИИ ПО СХЕМЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

В любых финансовых операциях расчет сумм денег всегда связан с конкретными отрезками времени. Причем фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Постулат не равноценности денег, связанный со временем, ставит под сомнение правомерность операции суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, особенно при экономическом анализе и управлении финансами на длительные периоды. Фактор времени в финансовой сфере учитывается с помощью процентной ставки как отношения суммы процентных денег, выплаченных за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды. Предоставление денег в долг во временное пользование может осуществляться различными способами: в виде денежной ссуды, сберегательного счета, от-

крытия депозита, покупки облигаций и векселей и т. д. На заня-

тые деньги с должника начисляются проценты. На практике начисление процентов всегда производится в дискретные моменты времени.

Параметры денежной ссуды:

S0 — первоначальный размер ссуды;

ST — размер выплат по окончании ссуды; P — проценты на ссуду;

T — срок ссуды в днях;

Tгод — временная база (число дней в году); i — годовая процентная ставка;

k — коэффициент наращения.

Временная база обычно задается равной 360 или 365 дням. В германской практике подсчет числа дней основывается на продолжительности года 360 дней и 30 дней в месяце. Во француз-

4

ской практике продолжительность года 360 дней, а количество дней в месяце берется фактическое: 28, 29, 30 или 31. В английской практике продолжительность года 365 дней и фактическая длительность месяца.

Для краткосрочных ссуд со сроком меньше года для начисления выплат и процентов обычно используется простая про-

центная ставка:

P = ST −S0 .

Коэффициент наращения вычисляется по следующей формуле:

Сущность простых процентов в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока ссуды.

Пример 1.1

Частное лицо помещает 800 ф. ст. на депозит в банке по ставке простого процента из расчета 4 % годовых. Вычислите, какую сумму инвестор будет иметь на счете через два года.

Решение. Вданном примере, исходя изформулы (1.1), имеем: S0 — первоначальное вложение, так называемая «основная

сумма»,— 800 ф. ст.;

i — процентная ставка — 4 % годовых;

n = T/T0 — временной период инвестиции — 2 года. Следовательно, процентный доход инвестора составляет:

ST = 800 × (1+2 × 4/100) = 864 ф. ст.

В кредитных организациях рассматриваются операции банка по начислению и уплате процентов по привлеченным во вклады (депозиты) рублевым денежным средствам физических и юридических лиц, а также полученным межбанковским креди-

5

там. Сроки привлечения банком средств во вклады (депозиты), а также межбанковские кредиты — на условиях «овердрафт», «до востребования», «овернайт», составляют 3, 7 и 21 день, 3 месяца. Для выполнения расчетов исходными данными являются процентные ставки банка (ставки привлечения).

Диапазон ставок задан в зависимости от колебаний ставки межбанковского рынка.

Плавающая ставка, равная ставке рефинансирования Банка России плюс (минус) установленный банком процент.

Ставка рефинансирования (СР) Банка России в рассматриваемом периоде по состоянию на 1.01.2005 г. — 13 %.

Пример 1.2

Найти общую задолженность банка-респондента, если начисление процентов на сумму предоставленного внутридневного овердрафта в банке происходит по следующей схеме:

В соответствии с договором о корреспондентских отношениях 9.12.1998 г. банк-корреспондент предоставляет внутридневной овердрафт банку-респонденту. Сумма внутридневного овердрафта составила 158 245 руб. в течение 2 ч 30 мин (150 мин) и 41 412 руб. в течение 1 ч 17 мин (77 мин). Процентная ставка по внутридневному овердрафту составляет 5,5 %, время работы расчетной системы корреспондентских отношений между банками — 9 ч (540 мин) в сутки.

6

Решение. Банк-респондент на основании полученной от банка-корреспондента выписки по корреспондентскому счету 10.12.1998 г. оплачивает задолженность по процентам за предоставленный 9.12.1998 г. внутридневной овердрафт в сумме:

Процентная ставка может изменяться в некоторые моменты времени, пока не закончился срок ссуды. В этом случае для расчетов необходимо задать число периодов начисления, таблицу процентных ставок и продолжительностей периодов начисления:

Для начисления выплат по переменной простой процентной ставке используется формула

K

Т = ∑tk .

k =1

Пример 1.3

Вклад 300 000 руб. был положен в банк 20.05.1999 г. при ставке 60 % годовых. С 1 сентября банк снизил ставку по вкладам до 30 % годовых. 25 октября вклад был закрыт. Определить сумму начисленных процентов при английской, германской и французской практиках начисления.

Решение:

1. Пригерманской практикеколичество дней дляначисления про-

центовпоставке60 % годовых: tгерм = 12 + 30 + 30 + 30 +1 – 1 = 102 дня;

поставке30 % годовых: tгерм = 30 + 25 – 1 = 54 дня.

7

Сумма начисленных процентов составит:

2. При французской практике количество дней для начисле-

ния процентов по ставке 60 % годовых: tфр = 12 + 30 + 31 + 31 + + 1 – 1 = 104 дня, поставке30 % годовых: tфр = 30 + 25 – 1 = 54 дня.

Сумма начисленных процентов составит:

3. При английской практике количество дней для начисле-

ния процентов по ставке 60 % годовых: tангл = 12 + 30 + 31 + 31 + + 1 – 1 = 104 дня,

Модели развития операций по схеме простых процентов по

ставке 30 % годовых: tангл = 30 + 25 – 1 = 54 дня. Сумма начисленных процентов составит:

Пример 1.4

Начисление процентов на сумму вклада до востребования по процентной ставке, изменяющейся в течение срока действия договора банковского вклада.

Банк 7.07.1998 г. заключает с вкладчиком договор на условиях выдачи вклада по первому требованию (вклад до востребования). Первоначальная сумма вклада — 78 руб. Процентная ставка — 3 %, начисленные проценты не увеличивают сумму основного вклада, выплата процентов осуществляется по первому требованию вкладчика отдельно от суммы вклада.

Вкладчик 30.07.1998 г. снимает с вклада денежные средства в размере 46 руб.

4.08.1998 г. банк принимает решение об увеличении процентной ставки по вкладам до востребования до 4 % начиная с 10.08.1998 г.

8

Вкладчик 3.09.1998 г. снимает оставшуюся сумму вклада и начисленные за весь период вклада проценты.

Решение. Полный срок вклада (7.07.1998—3.09.1998) — 59

календарных дней, период начисления процентов по вкладу

(7.07.1998—3.09.1998) — 58 календарных дней.

Банк 3.09.1998 г. возвращает вкладчику остаток вклада в сум-

Пример 1.5

Найти начисленные проценты на сумму выданного межбанковского кредита по плавающей процентной ставке.

Банк осуществляет операции по выдаче межбанковских кредитов сроком на 3 дня. Процентная ставка по кредиту изменяется на ежедневной основе и равна ставке МИБОР по однодневным кредитам, действующей на соответствующий день срока действия кредитного договора, плюс 2 %. Капитализация начисленных процентов не производится. Продление срока действия договора кредитным договором не предусматривается.

Банк выдал 8.12.1998 г. межбанковский кредит на указанных выше условиях в 1 500 000 руб. Срок возврата суммы кредита и уплаты начисленных процентов 11.12.1998 г.

Полный срок кредита (8.12.1998—11.12.1998) — 4 календарных дня, период начисления процентов по кредиту (8.12.1998— 10.12.1998) — 3 календарных дня.

В период кредитного договора процентная ставка банкакредитора по текущему кредиту составила:

9

Начисление банком-кредитором процентов:

а) 9.12.1998 г. (за 1-й день пользования суммой кредита):

1500 000 руб.16,10029 3651 = 669 руб. 45 коп.;

б) 10.12.1998 г. (за2-йдень пользования суммой кредита):

1 500 000 руб.19,65100 3651 = 807 руб. 53 коп.;

в) 11.12.1998 г. (за3-йдень пользования суммой кредита):

1 500 000 руб.17,03100 3651 = 699 руб. 87 коп.;

г) 11.12.1998 г. банк-заемщик погашает задолженность по кредиту в сумме 1 500 000 руб. и уплачивает начисленные про-

центы в сумме 2 176 руб. 84 коп. (669,45 + 807,53 + 699,86).

Кредитор полученные деньги по окончании ссуды может снова отдать в долг, т. е. реинвестировать накопленный капитал. В этом случае для расчетов необходимо задать число периодов реинвестирования, таблицу процентных ставок и продолжительностей периодов реинвестирования, аналогичную таблице для переменной процентной ставки. Для начисления выплат при реинвестировании используется формула

Коэффициент наращения вычисляется по формуле

Пример 1.6

Найти начисление процента на сумму срочного вклада с условием ежемесячной капитализации процентов.

10

Банк 20.07.1998 г. заключает с вкладчиком договор срочного вклада на 3 месяца (срок возврата вклада — 20.10.1998 г.). Сумма вклада составляет 15 000, процентная ставка — 22 %. 20-го числа каждого месяца действия договора производится капитализация начисленных процентов. Переоформление вклада по окончании срока действия договора на ранее заключенных условиях срочного вклада договором не предусматривается. Выплата причисленных к сумме вклада процентов осуществляется по истечении срока действия договора.

В течение срока действия договора банк трижды —

20.08.1998 г., 20.09.1998 г. и 20.10.1998 г.— производит капита-

лизацию начисленных процентов во вклад.

20.10.1998 г.— срок окончания договора срочного вклада, вкладчик не явился за деньгами в установленный договором срок. В этот же день после окончания операционного дня банк переоформляет указанный срочный вклад во вклад до востребования.

28.10.1998 г. вкладчик получает сумму вклада до востребования и начисления за период с 20.10.1998 по 27.10.1998 г. включительно (8 календарных дней) проценты по установленной ставке 4 %.

Решение. Полный срок срочного вклада (20.07.1998— 20.10.1998) — 93 календарных дня, период начисления процентов по ставке срочного вклада — 22 % (20.07.1998— 19.10.1998) — 92 календарных дня.

Полный срок вклада до востребования (20.10.1998— 28.10.1998) — 9 календарных дней, период начисления процентов по ставке вклада до востребования — 4 % (20.10.1998— 27.10.1998) — 8 календарных дней.

Порядок начисления банком процентов на сумму вклада:

— сумма срочного вклада на 21.08.1998 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.07.1998 по

19.08.1998 г. включительно):

11

— сумма срочного вклада на 21.09.1998 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.08.1998 по 19.09.1998 г. включительно):

— сумма срочного вклада по состоянию на конец операционного дня 20.10.1998 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.09.1998 по 19.10.1998 г. включительно), и вклада, переоформленного во вклад до востребования:

— сумма начисленных на вклад до востребования процентов (за период с 20.10.1998 по 27.10.1998 г. включительно):

15 856,63 руб. 4 8 = 13 руб. 90 коп. 100 365

Общая сумма возврата денежных средств вкладчику составит на 28.10.1998 г. 15 870 руб. 53 коп., из которых 15 856 руб. 63 коп.—

сумма срочного вклада с учетом капитализированных процентов и13 руб. 90 коп.— проценты, начисленные за время, прошедшее смомента переоформления указанного срочного вклада во вклад до востребования.

Пример 1.7

Вкладчик полученную через полгода сумму от ссуды в $1 000 000 под 8 % годовых снова помещает в банк на год под 12 % годовых. Найти сумму процентов к выплате.

Решение. Задача описывает процесс реинвестирования: начальная сумма ссуды равна S0 = 1 000 000, число дней Tгод = 360. Процентные ставки по первому полугодию i1 = 8 и по второму году i2 = 12. Соответственно сроки ссуд t1 = 182; t2 = 365. Согласно формуле реинвестирования ST = 1 167 032 и проценты на ссуду P = 167 032.

12